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* 例：求三阶Adams外插公式 的绝对稳定区间。 解：三阶Adams外插公式的特征多项式是 由定理4，绝对稳定的充分必要条件是 * 化简得 最后一个不等式恒成立，前3个不等式解得 就是三阶Adams外插公式的绝对稳定区间。 * 第一章 常微分方程数值解法 第三节 线性多步法 * * 欧拉法 隐式欧拉法 改进欧拉法 Runge-Kutta法 * 学习重点： * 1 多步法的构造思想 2 多步法的特点 3 公式形式：重点掌握四阶公式 线性多步法 * 线性多步公式的导出 * 线性多步公式的导出(续1) * 线性多步公式的导出(续2) * 线性多步公式的导出(续3) * 线性多步公式的导出(续4) * * * 常用的线性多步公式 * * 常用的线性多步公式(续) * * Adams-Bashforth formulas of different order 利用数值积分方法求线性多步公式 * 利用数值积分方法求线性多步公式(续1) 利用数值积分方法求线性多步公式(续2) * 利用数值积分方法求线性多步公式(续3) * * 预测—校正系统 用显式公式计算预测值，然后用隐式公式进行校正，得到近似值yn+1这样一组计算公式称为预测—校正系统。 一般采用同阶的隐式公式与显式公式。常用的预测—校正系统有两种 * * * 线性多步法小结 与RK方法相比，线性多步法每步计算函数f的次数显著减少。因此，线性多步法适用于求解步数较多的情形。 另外，由于多步法计算公式中涉及好几个已算出的参数值，改变步长比较麻烦。 在选定步长后，线性多步法的前面几步数值由RK方法计算得出。 多步法的相容性、稳定性和收敛性 * 线性k步法公式可写成： 其中 定义：如果线性多步法至少是一阶的，则称此方法是相容的。 记 定理1：多步法（20）相容的充分必要条件是 分别称为多步法的第一和第二特征多项式。 设线性k步法为 多步法的相容性条件 k步法的一般形式为 当 时,方法阶数至少为1。 即上述计算格式对 y = 1, y = x 应精确成立。 多步法的相容性、稳定性和收敛性 * 令 y = 1 得 令 y = x 得 称为线性多步法的相容性条件。 * * 定义：若存在正常数c和 ， 两组初值 和 和 则称此方法是稳定的。 使得 由线性多步法计算得两组数值 成立 定理2：线性多步法稳定的充分必要条件是 满足根条件，即 的所有根的模小于或等于1，并且 模等于1的根为单根。 记 称为多步法的特征多项式。 当 的所有根的模都小于1时，模型问题的 多步法公式由一步计算产生的误差在以后的计算中逐步减少，误差不扩散，则此方法对于这个 是绝对稳定的。 定理3：线性多步法收敛的充分必要条件是它是相容的 和稳定的。 * 定理4：（1）实系数二次多项式方程 的根都按模小于1的充分必要条件是 （2）实系数三次多项式方程 的根都按模 小于1的充分必要条件是 *