2006-2007A高数题.doc

哈尔滨工业大学（威海）2006/2007学年 春季学期 工科数学分析 （A班）（答案） 试题卷（A） 一、填空题（每题3分，共30分） 1．设，则，， 2．曲面在点处的切平面方程是 3．函数在点处的梯度 4．交换积分次序： 5．在单联通域上连续且有连续偏导数时，积分与路径无关的充要条件是 6．设，则 7．级数的收敛域是 8．函数以为周期，则其傅里叶系数 ， 。 9．方程的通解是。 10．设是二阶方程 的三个线性无关的特解，则其通解可表为 二、试解答下列各题：（每题4分，共24分） 1．设 在处有二阶连续偏导数，求。 解：设为1号变量，为2号变量 2．试求在约束条件下的极大值（已知存在）。 解：设 解得： 由题意知 3． 设是由围成的区域，在上连续，试利用柱坐标将三重积分化为三次积分。 解： 4．求球面 被柱面所截出的表面积。 解： 5．试把函数展开成马克劳林级数，并求收敛半径。 解： 6．解方程 解：设，代入方程得 即 又的通解 故所求方程通解 三、试解答下列各题（每题4分，共16分） 1．求曲面 及所夹球壳的质量，其中它每一点的密度与这点到原点的距离成反比。 解：，为比例常数 2．已知向量场 ，证明。 解： 3．试求方程的形如的解，其中。 解： 代入方程得 4．试计算曲面积分：，其中是曲面与平面及所围立体表面的内侧，。 解： 1