2009-2010南昌大学第二学期高数及答案.doc

一、填空题（每题3分，共15分） 1.函数ex(1关于x的幂级数展开式为__________ 2.交换二次积分的次序：=__________ 3.经过点(1,3)且在每个点(x,y)的切线斜率为2x的曲线方程为________ 4.矩阵A的属于不同特征值的特征向量是线性______(相关或无关)的 5.设(1,(2,(((,(n线性无关，若它们中的任一向量均可由(1,(2,(((,(s线性表示，则n与s的大小关系是__________ 二、单项选择题（每题3分，共15分） 1.设0≤un，n=1,2,(((，则下列级数中必定收敛的是( ) (A) (B) (C) (D) 2.函数f(x,y)在点(x,y)连续是函数在该点可微的( ) (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)无关条件 3.微分方程ydx+xdy=0的通解是( ) (A) x+y=0 (B) y=x (C) y=c (D) xy=c 4.(0的充分必要条件是( ) (A)k((1 (B)k(3 (C)k((1且k(3 (D)k((1或k(3 5.设A为三阶矩阵，且|A|=a，则其伴随矩阵A*的行列式|A*|=( ) (A) a (B) a2 (C) a3 (D) a4 三、求解下列各题（每题8分，共16分） 1.求幂级数收敛域 2.设z=f(x2+y2)，且f可微，求dz 四、计算下列各题（每题8分，共16分） 1.求f(x,y)=x3+3xy(y3+2的极值 2.求微分方程ydx+(x(y3)dy=0满足y(1)=1的特解 五、解下列各题（每题8分，共16分） 1.计算行列式D= 2.求矩阵A=的特征值和特征向量 六、计算题（每题8分，共16分） 1.设有线性方程组，问(取何值时，此方程组：(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无限多个解？并在有无限多解时求其通解 2.设A、B、X均为三阶方阵，且满足XA=B，其中：A=，B=，求：(1) A(1；(2) X 七、证明题：设f(x)在[a,b]上连续，证明：≤.（6分） 一、1. 2. 3. y=x2+2 4. 无关 5. n≤s 二、1. D 2. B 3. D 4. C 5. B 三、1.令t =x(1，则级数变为 ∵( === ∴R=2，收敛区间为|t|2，即(1x3 当x=3时，级数发散；当x= (1时，级数收敛，∴收敛域为[(1,3) 2.∵=f ((x2+y2)(2x，=f ((x2+y2)(2y ∴dz=2f(x2+y2)(xdx+ydy) 四、1. fx(=3x2+3y=0，fy(=3x(3y2=0，得驻点(0,0)，(1,(1) =6x，=3，= (6y 在(0,0)点，(=B2(AC=90，∴(0,0)不是极值点 在(1,(1)点，(=B2(AC= (270，A=60，∴(1,(1)是极值点，且极小值f(1,(1)=1 2. x=== ∵y(1)=1 ∴C= ∴x= 五、1.原式====5 2. |(E(A|=(((8)((+1)2=0，特征值为(1=8，(2=(3= (1 (1=8，有，即，得基础解系为(2,1,2)T ∴(1=8的特征向量为k1(2,1,2)T (其中k1为任意非零数) (2=(3= (1，有，得基础解系为(1,0,(1)T，(1,(2,0)T ∴(2=(3= (1的特征向量为k2(1,0,(1)T+k3(1,(2,0)T (其中k2, k3为不全为零的常数) 六、1. (A,b)== (1)((0且(((3时，R(A)=R(A,b)=3，方程组有唯一解 (2)(=0时，R(A)=1, R(A,b)=2，方程组无解 (3)(=(3时，R(A)=R(A,b)=23，方程组有无穷多个解 (=(3时，(A,b)=，(*=，(= 得通解是：X=(*+k( (k为任意常数) 2.(1)((A(1= (2) X=BA(1== 七、[证] [f(x)(f(y)]2≥0 (((x,y)([a,b]) 对上面的不等式在D={(x,y)：a≤x,y≤b}上求二重积分 得0≤= ∴≤ (1) == (2) === (3) 将(2)、(3)代入(1)，即得所要的结论