3导数的应用练习题答案.doc

一．填空 1．； 2．； 3．； 4．设函数在点处可导，且在点处取得极值，则； 5．函数的极值点可能取在 驻点 点和 尖点 点； 6．设函数在点的一个邻域内可导，且，如果当x取左右两侧邻近的值时有，则函数在点处的情况为 单调递增 ； 7．若函数在内单调递增，且在内可导，对任意一点，则必有； 8．函数的单调递减区间是； 9．函数在点处具有二阶导数且，，则函数在点处取得 极小值 ； 10．函数的拐点是； 11．若，则直线是曲线的 水平 渐近线； 12．若，则直线是曲线的 铅直 渐近线． 二．单项选择 1．设，该函数的极小值为（ A ） A．3 B．4 C．5 D．7 2．若已知是函数的极值点，则必为（ C ）． A．驻点 B．不可导点 C．驻点或不可导点 D．最大或最小值点 3． 函数在上的单调性为（ A ）． A．单调递增 B．单调递减 C．既有单调递增又有单调递减 D．无法判断 4．若函数在点处可导，且，则在点处（ B ）． A．必有极值 B．可能有极值，也可能没有极值 C．必有极大值 D．必有极小值 5．下列函数中不具有极值点的是（ C ）． A． B． C． D． 6．函数的凸区间为（ B ）． A． B． C． D． 7．函数的单调性为（ B ）． A．在内单调递增 B．在内单调递减 C．在内单调递增 D．在内单调递减 8．函数在闭区间上的最大值为（ C ）． A．0 B．1 C． D． 9．曲线的渐近线为（ B ）． A．有水平渐近线无垂直渐近线 B．无水平渐近线有垂直渐近线 C．既无水平渐近线又无垂直渐近线 D．既有水平渐近线又有垂直渐近线 10．曲线的渐近线为（ C ）． A．有水平渐近线 B．有水平渐近线 C．有垂直渐近线 D．有垂直渐近线 三．计算题 1．求的极值． 解 ，，； 令，而，，所以有 ， 2．求的极值． 解 ，，；令，而，所以有 3．求的极值、凹凸区间与拐点． 解 ，，，令，； 列表 1 2 3 + 0 – – – 0 + – – – 0 + + + 4 2 0 ，，上凸区间，上凹区间，拐点为． 4．求的凹凸区间与拐点． 解 ，，，令，当时，，所以是向上凹的；时，，所以是向上凸的；拐点为． 5．求的极值、凹凸区间与拐点． 解 ，，，令，； 列表 0 1 + 0 – – – 0 + – – – 0 + + + 6 4 2 ，，上凸区间，上凹区间，拐点为． 6．求的单调区间、极值、凹凸区间与拐点． 解 ，，，令，； 列表 0 1 + + + 0 – – – + 0 – – – 0 + 拐点 极大值 拐点 7．求在区间上的最大值与最小值． 解 ，令； 而，，，，比较可知： ，． 8．求在区间中的最大值与最小值． 解 ，令； 而，，，，比较可知： ，． 四．应用题 1．在造一个容积为V的圆柱形闭合油罐，问底直径与高为何时，所用材料最省． 解 设直径为r，高为h，则面积 且，所以 令，故当时，用料最省． 2．某产品的成本（万元）与该产品的产量x（单位：百台）之间的函数关系式为，，而平均成本为，求当产量x为可值时，平均成本最低． 解 由题意知 令，故当产量为3百台时平均成本最低． 3．设有一块边长为a的正方形铁皮，从四角截去同样的小方块，做成一个无盖的小方盒子，问小方块的边长x为多少时才能使盒子的容积最大． 解 设容积为V，则依题意有 令，（不合题意，舍去），故当时，此盒子的容积最大． 4．将一长为a的铁丝切成两段，并将其中一段围成正方形，另一段围成圆形，为使正方形与圆形面积之和最小，问两段铁丝的长各为多少． 解 设切成长度为x那一段的铁丝做成正方形，切成长度为那一段的铁丝做成圆形，则依题意，其两种面积之和为 令，，即两段铁丝长度各为，时，正方形与圆的面积之和最小． 辽宁省交通高等专科学校 导数的应用练习题 1