均值不等式最值恒成立.doc

均值不等式 重点考点 不等式成立问题 （1）恒成立问题 ① 若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 ② 若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 （2）能成立问题 ① 若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上； ② 若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的. （3）恰成立问题 ① 若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为； ② 若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为. 2.不等式最值问题 常用方法：配凑法（凑系数，凑项，分离）、整体代换、换元、取平方、倒数 二、典型例题 （一）不等式恒成立 常规处理方式：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法 例1、（1）设实数满足，当时，的取值范围是________ （2）不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围________ （3）若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是_____ （4）若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围. (5)已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围________ （二）最值问题 1. 配凑 ① 凑系数 例2、当时，求的最大值。 解： 当且仅当，即x＝2时取等号 所以当x＝2时，的最大值为8 变式：（1）已知0＜x＜，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+的值域. 思路分析： 由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数；（） （2）中，未指出x＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x＞0与x＜0讨论(-∞,-2］∪［2,+∞) ② 凑项 例3、已知，求函数的最大值。 解：∵ ∴ 当且仅当，即时等号成立 ③ 分离 例4、求的值域。 解： 当，即时 （当且仅当x＝1时取“＝”号）。 当，即时 （当且仅当x＝－3时取“＝”号）。 ∴的值域为。 变式:求函数y=的最小值.（当x=0时，函数取得最小值3） 评注：分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。 2. 整体代换 例5、已知，求的最小值。 解1：不妨将乘以1，而1用a＋2b代换。 当且仅当时取等号，由 解法2：将分子中的1用代换。 变式：已知x＞0,y＞0，且+=1，求x+y的最小值.（3种方法，x+y取得最小值16） 3. 换元 例6、求函数的最大值。 解：变量代换，令，则 当t＝0时，y＝0 当时，，当且仅当，即时取等号 故 4. 取平方 例7、求函数的最大值。 解：注意到的和为定值 又，所以，当且仅当，即时取等号故。 5. 取倒数 例8、已知，求函数的最小值. 　解 由，得，. 　　取倒数，得 当且仅当，即时，取等号. 故的最小值是. 注：我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。 例9、求f(x)=3++的最大值（0＜x＜1）. 解：∵0＜x＜1,∴lgx＜0,＜0.∴-＞0.∴(-lgx)+(-)≥2=4. ∴lgx+≤-4.∴f(x)=3+lgx+≤3-4=-1.当且仅当lgx=,即x=时取得等号. 则有f(x)=3+lgx+ (0＜x＜1)的最大值为-1. 变式：已知，且满足，求的最大值 　　　 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值是. 例10、求函数的最小值。 解析： ，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最小值是。 变式：求下列函数的最大值： ① ② 解析：①，∴ ，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最大值是1。②，则，欲求y的最大值，可先求y2的最大值。 , 当且仅当，即时，不等式中的“=”号成立，故此函数最大值是。 例11、若x、y，求的最小值。 解法一：（单调性法）由函数图象及性质知，当时，函数是减函数。 解法四：（拆分法），当且仅当时“=”号成立，故此函数最小值是5。 课后练习 1、若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围__（,） 2、① 若，求的最大值 ② 求函数的最小值5 ①求函数的最小值8②已知，且，求的最小值 4、当x＞-1时，求f(x)=x+的最小值.【f(x)min=1】 5、已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1，x+y的最小值为18，求a,b的值 解：x+y=(x+y)()=a++b=10+. ∵x,y＞0,a,b＞0， ∴x+y≥10+2=18，即=4. 又a+b=10，∴或 6、当x＜时，求函数y=x+的最大值 解：y=（2x-3）++=-（）+， ∵当x＜时，3-2x＞0， ∴≥=4，当且仅当，即x=-时取等号. 于是y≤-4+=，故函数有最大值. 7、试分别求：① ；② 的最大值 8、