中南大学成人教育2013学年第一学期试卷(开卷).doc

中南大学成人教育2013学年第一学期试卷（开卷） 课程： 《 经济数学 》 教学点： 深圳站 ﹉ 题 号 一 二 三 四 五 总 分 总分人 复分人 得 分 得分 评卷人 填空（每小题2分，共16分） 1．函数的定义域为 ； 2．函数的奇偶性是 ； 3．函数，则 ； 4．设，则 ； 5． ； 6．已知函数的一个原函数是cosx，求＝ ； 7． ； 8．设，则 。 得分 评卷人 二、计算题（每小题5分，共50分） 1．求 2．求 3．已知，求 4．设，求 5．设y是由方程确定的隐函数，求 6．求函数的极值； 7．设，求 8．计算 9．计算 10．计算 得分 评卷人 三、证明题（每小题8分，共24分） 1．证明方程式至少有一个根介于1和2之间； 2．求椭圆所围成图形的面积； 3．（最大值最小值问题）将120cm的铁丝剪成两段，分别围成两个正方形，问两段各取多长时，该圆及正方形面积之和最小。 得分 评卷人 计算题（10分） 求微分方程 的通解． 高等数学 试卷 B【开卷】 —— 参考答案及评分标准 —— . 一、填空（每小题2，共16分） 1．函数的定义域为 +∞ ； 2．函数的奇偶性是 偶函数 ； 3．函数，则 ； 4．设，则 4xdx ； 5． ； 6．已知函数的一个原函数是cosx，求＝ -cosx ； 7． 0 ； 8．设，则 -cosx+c 。 二、题（每小题5分，共50分） 1．求 解：原式= =1/2 5．求 解：原式= =1 6．已知，求 解：= = 7．设，求 解：= 8．设y是由方程确定的隐函数，求 解：方程两边对x求导： 由于：当x=0时，，y= 所以：= 9．求函数的极值； 解: 令，则x=1或x=-1 ,所以 因而, 在x=-1处有极小值,其值为 在x=-1处有极大值,其值为 10．设，求 解： ， = = 11．计算 解：原式= = 12．计算 解：原式=== =-1-1 =-2 13．计算 解：原式== = ==4-2ln3 三、题（每小题8分，共24分） 1．证明方程式至少有一个根介于1和2之间；（5分） 证明：令 因为是初等函数，它在[1，2]上连续，且,,则由介值定理或根存在定理知，在（1，2）内至少存在一点，使得，也就是方程在区间（1，2）至少有一实根，即至少有一个根介于1和2之间。 2．求椭圆所围成图形的面积；（6分） 解：由椭圆性质及几何知识知，椭圆在1、2、3、4象限的面积是相同的，因而只要求出在第1象限的面积再乘以4，便求出了椭圆面积。 考虑在第1象限,.令x=8cost,y=7sint,则在第一象限的面积为： = = = = 故椭圆面积为 3．（最大值最小值问题）将120cm的铁丝剪成两段，分别围成两个正方形，问两段各取多长时，该圆及正方形面积之和最小。（6分） 解：令一正方形边长为x,另一正方形边长为y,则： 4x+4y=120，因而,y=30-x，则面积 由s对x求导为：，，则x=15cm 又,故0,所以x=15cm时,面积S取极小值;此时y=30-15=15cm 又因只有一个极值,所以该极小值也是最小值,最小值为=450 因而该铁丝应分成两段长分别为:4*15=60cm和4*15=60cm 四、题（10分） 求微分方程 的通解． 解：因为： 则： 为所求解. 2 1