2 函数的单调性与最值练习题.doc

§2.2 函数的单调性与最值 一、选择题 1．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意xR，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　)．A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) 解析　法一　由xR，f(－1)＝2，f′(x)＞2，可设f(x)＝4x＋6，则由4x＋6＞2x＋4，得x＞－1，选B. 法二　设g(x)＝f(x)－2x－4，则g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，g′(x)＝f′(x)－2＞0，g(x)在R上为增函数． 由g(x)＞0，即g(x)＞g(－1)． x＞－1，选B. 答案　B2．给定函数y＝x，y＝log(x＋1)，y＝|x－1|，y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是(　　) A． B． C． D．解析　y＝x为增函数，排除A、D；y＝2x＋1为增函数，排除C，故选B.答案B 3．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是(　　)． A. B. C. D. 解析　f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，又f(x)在[0，＋∞)上递增，f(2x－1)＜f|2x－1|＜＜x＜.故选A. 答案　A．函数f(x)＝(a0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是(　　) A．(0,1) B．[，1) C．(0，] D．(0，] 解析：据单调性定义，f(x)为减函数应满足： 即≤a1. 答案：B ．函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是(　　) A．(－∞，] B．[，＋∞) C．(－1，] D．[，4) 解析　由4＋3x－x20得，函数f(x)的定义域是(－1，4)，u(x)＝－x2＋3x＋4＝－(x－)2＋的减区间为[，4)，e1，函数f(x)的单调减区间为[，4)．答案　D [点评]　可用筛选法求解，显然x＝±100时，f(x)无意义，排除A、B；f(0)＝ln4，f(1)＝ln6，f(0)f(1)，排除C，故选D. ．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2－|x|，当K＝时，函数fK(x)的单调递增区间为(　　)．A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 解析　f(x)＝ f(x)＝f(x)的图象如上图所示，因此f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)． 答案　C 已知偶函数y＝f(x)对任意实数x都有f(x＋1)＝－f(x)，且在[0,1]上单调递减，则(　　) A．fff B．fff C．fff D．fff 解析由条件知f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)， f(x)是周期为2的周期函数，f(x)为偶函数， f＝f＝f＝f， f＝f＝f， f＝f＝f＝f， f(x)在[0,1]上单调递减，fff， fff. 答案B 二、填空题 ．函数y＝ln 的单调递增区间是________． 解析　本题考查复合函数单调区间的确定；据题意需满足0即函数定义域为(－1,1)，原函数的递增区间即为函数u(x)＝在(－1,1)上的递增区间，由于u′(x)＝()′＝0.故函数u(x)＝的递增区间(－1,1)即为原函数的递增区间． 答案　(－1,1) ．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________． 解析(1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增； (2)当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为直线x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a0，且－≥4，解得－≤a0. 答案[－，0] ．已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)f(2x)的x的范围是________． 解析　f(x)＝的图象如图所示， 不等式f(1－x2)f(2x)等价于或 解得－1x－1 答案　(－1，－1)．已知函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(0θπ)，其图象与直线y＝2某两个交点的横坐标分别为x1、x2，若|x2－x1|的最小值为π，则该函数增________．解析y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，0θπ，θ＝，y＝2cosωx，由条件知，此函数的周期为π，ω＝2， y＝2cos2x，由2kπ－π≤2x≤2kπ，(kZ)得，kπ－≤x≤kπ(kZ)，令k＝0知，函数在上是增函数． 答案　 ．已知函数f(x)＝(a是常数且a＞0)．对于下列命题： 函数f(x)的最小值是－1； 函数f(x)在R上是单调函数； 若f(x)＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1； 对任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f＜. 其中正确命题的序号是__________(写出所有正确命题的序号)．