2013高考数学总复习精品课件 ： 数列求和.ppt

* 第四节 数列求和 基础梳理 数列求和的常用方法 （1）公式法 ①直接用等差、等比数列的求和公式. ②掌握一些常见数列的前n项和公式. (2)倒序相加法 如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和就可用倒序相加法，如 等差 数列的前n项和就是用此法推导的. （3）错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如 等比 数列的前n项和就是用此法推导的. （4）裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.常见的拆项公式有： ① ② ③ (5)分组求和法 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差，等比或常见的数列，即先分别求和，然后再合并，形如： ①{an+bn},其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列； ② 典例分析 题型一 利用错位相减法求和 【例1】(2008·全国) 在数列{an}中，a1=1,an+1=2an+2n. (1)设 ,证明:数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 分析 (1)求bn+1，观察bn与bn+1的关系. （2）由an=n·2n-1的特点可知，运用错位相减法求和Sn. 解（1）证明： 由已知an+1=2an+2n,得 又b1=a1=1,因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列. （2）由(1)知 Sn=1+2·21+3·22+…+n·2n-1, 两边乘以2,得2Sn=2+2·22+…+n·2n, 两式相减,得Sn=-1-21-22-…-2n-1+n·2n =-(2n-1)+n·2n=(n-1)2n+1. 学后反思 (1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法. （2）用错位相减法求和时，应注意： ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形更值得注意； ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”， 以便于下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式; ③应用等比数列求和公式时必须注意公比q≠1这一前提条件，如果不能确定公比q是否为1,应分两种情况讨论，这在以前高考中经常考查. 举一反三 1. (2010·广州综测)已知数列{ }中， 且 (n≥2且n∈N*). (1)若数列 为等差数列，求实数λ的值； （2）求数列{ }的前n项和 解析: （1）方法一：∵ , ∴ , 设 ,由{ }为等差数列， 则有 方法二：设 ,∵数列 为等差数列， ∴{ }为等差数列，则 (n∈N*). ∴ ∴ 即 ∴ ,解得λ=-1. 则 综上可知，当λ=-1时，数列 为首项是2,公差是1的等差数列. 综上可知，当λ=-1时，数列 为首项是2，公差是1的等差数列. （2）由(1)知， ∴ ∴ 即 令 ,① 则 ,② ②-①，得 ∴ 题型二 利用裂项相消法求和 【例2】 (2008·江西)等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前n项和为Sn,{bn}为等比数列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960. (1)求an与bn; (2)求 分析 易求得Sn=n(n+2),而 ,应用裂项法就能求出 的值. (2)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),所以 解 （1）设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则d为正数， an=3+(n-1)d,bn=qn-1, 依题意有 故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1. 学后反思 如果数列的通项公式可转化为f(n+1)-f(n)的形式，常采用裂项 求和的方法.特别地，当数列形如 ，其中{an}是等差数列时，可尝试采用此法. 常用裂项技巧如： 使用裂项法，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；要注意由于数列{an}中每一项an均裂成一正一