四川大学理论力学第十三章.ppt

点评: (1) 对于理想约束系统,在机构的平衡问题中求主动力之间的关系及求系统的平衡位置时, 应用虚功原理, 由于仅涉及主动力, 因而计算比较简洁。 (2)应用虚功原理的关键是将虚功方程左边表示成独立虚位移上的虚功总和,为此必须首先确定各个虚位移之间的关系, 常用的方法有几何法和解析法。 A ○ ○ ○ ○ C B D F 例3 图示桁架,已知:F,CD=3m , AD=BD=6m。试求:(1)支座B 的约束反力;(2)DB 杆的内力。 提示: 求平衡系统的约束力时,首先要解除与之对应的约束,代之以约束力,并将该约束力当作主动力看待。 * 第13章 虚位移原理 虚位移原理是以分析的方法研究非自由质点系的平衡问题，该原理不但能简捷地处理非自由质点系的静力学问题，而且结合达朗贝原理还能建立普遍形式的动力学微分方程。 13.1 约束及其分类 对质点系运动的限制条件称为约束(constraint),约束条件的数学表达式称为约束方程或约束不等式。 球面摆 约束方程: x2 + y2 + z2 = l2 m l O x y z ■ 单面约束与双面约束 在约束方程中用严格的等号表示的约束称为双面约束(bilateral constraint),含有不等号表示的约束称为单面约束(ulilateral constraint) 。例如在球面上运动的质点,如果规定质点不能离开球面,则约束是双面的;否则,约束就是单面的。 柔绳连接的单摆 约束方程: x2 + y2 + z2 ≤ l2 单面约束 m l x y z 约束方程: x2 + y2 + z2 ≤ [l(t)]2 ■ 定常约束与非定常约束 约束方程不显含时间t的约束称为定常约束或稳定约束(scleronomic constraint); 反之, 如果约束方程显含时间t, 则称为非定常约束或不稳定约束(rheonomic constraint) 。 摆长可变的单摆 m l u x y z 约束方程: (ut－x)2 + y2 = l2 非定常约束的例子 R=at2 约束方程: x2 + y2 + z2 ≥ a2t4 m l u x y O y x z ■ 完整约束与非完整约束 只限制系统中各质点的位置的约束称为几何约束(geometrical constraint),其约束方程是坐标和时间的有限方程。 O A B ○ y ○ x r l 曲柄连杆机构 xA2 + yA2 = r2 xB = 0 xA2 +(yB－yA)2 = l2 O A B ○ y x ○ l2 l1 约束方程: xA2 + yA2 = l12 (xB－xA )2 +(yB－yA)2 = l22 双数学摆 与几何约束相对应的是运动约束(constraint of motion), 即限制质点运动速度的约束,其约束方程是含有坐标和时间以及坐标对时间的导数的微分方程。 沿水平直线纯滚的圆盘 上述约束为运动约束,但其约束方程可积分为有限形式,从而转化为几何约束。几何约束和可积分的运动约束称为完整约束(holonomic constraint)。这里‘可积分’的意思是不依赖于运动方程而单独积分成有限形式。不可积分的运动约束称为非完整约束(nonholonomic constraint) 。 A vA x A(x1, y1) B (x2, y2) ○ y O ○ ? M (x, y) x v 两质点用长为l的刚性轻杆连接,在水平面上运动,杆中点M的速度只能沿杆向。 (x1－x2 )2 +(y1－y2)2 = l2 几何约束方程为: 杆的中点坐标为: x = (x1+ x2 )/2 y = (y1+ y2)/2 x = (x1+ x2 )/2 y = (y1+ y2)/2 ? ? ? ? ? ? 由题意 y/ x = (y1－y2)/(x1－x2 ) ? ? (y1+ y2)/(x1+ x2 )= (y1－y2)/(x1－x2 ) ? ? ? ? 故非完整约束方程为 13.2 广义坐标及自由度 适当选取的唯一确定质点系位置的一组独立变量称为广义坐标(generalized coordinate)。对于完整系统(仅受完整约束的系统),其广义坐标数即为系统的自由度(degree of freedom)。 小球在三维空间的运动,自由度为3, 广义坐标可选直角坐标x,y,z。 当它被限制在平面z=b上运动时, 自由度为2, 广义坐标可选直角坐标x,y;或极坐标r,θ。 x y z z=b θ r (x,y) xA2 + yA2 = r2 xB =