复变函数教程 §4-2 幂级数.ppt

* * §2 幂级数 1. 幂级数的概念 2. 收敛定理 3. 收敛圆与收敛半径 4. 收敛半径的求法 5. 幂级数的运算和性质 1. 幂级数的概念 定义 设复变函数列： ---称为复变函数项级数 级数的最前面n项的和 ---级数的部分和 　 若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数 ---级数(1)的和函数 特殊情况，在级数(1)中 称为幂级数 2. 收敛定理 同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理： 定理1 (阿贝尔(Able)定理） 证明 (2)用反证法， 3. 收敛圆与收敛半径 　　由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述 三种情况： (i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处　处收敛。 (ii )除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数(3)在复平面上除z=0外处处发散。 显然，? ? 否则，级数(3)将在?处发散。 将收敛部分染成红色，发散 部分染成蓝色，?逐渐变大， 在c?内部都是红色,?逐渐变 小，在c?外部都是蓝色， 红、蓝色不会交错。故 播放 (i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外 部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题 要具体分析。 定义　这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的 收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。 (ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R 的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径 为R的圆域. 4. 收敛半径的求法 定理2 (比值法) 证明 定理3 (根值法) 例1 解 综上 例2 求下列幂级数的收敛半径: 解 (1) 该级数收敛 该级数发散 p=1 p=2 ?该级数在收敛圆上是处处收敛的。 综上 该级数发散。 该级数收敛， 故该级数在复平面上是处处收敛的。 5. 幂级数的运算和性质 　代数运算　 ---幂级数的加、减运算 ---幂级数的乘法运算 ---幂级数的代换(复合)运算 幂级 数的代换运 算在函数展 成幂级数中 很有用. 例3 解 代换 解 代换 展开 还原 　分析运算　 定理4 ---幂级数的逐项求导运算 ---幂级数的逐项积分运算 显然，? ? 否则，级数(3)将在?处发散。 将收敛部分染成红色，发散 部分染成蓝色，?逐渐变大， 在c?内部都是红色,?逐渐变 小，在c?外部都是蓝色， 红、蓝色不会交错。故 显然，? ? 否则，级数(3)将在?处发散。 将收敛部分染成红色，发散 部分染成蓝色，?逐渐变大， 在c?内部都是红色,?逐渐变 小，在c?外部都是蓝色， 红、蓝色不会交错。故