复变函数ch4-2.ppt

第二节 幂级数 一、幂级数的概念 二、幂级数的敛散性 三、幂级数的运算和性质 四、典型例题 五、小结与思考 阿贝尔资料 例5 把函数 表成形如 的幂 级数, 其中 是不相等的复常数 . 解 把函数 写成如下的形式: 代数变形 , 使其分母中出现 凑出 级数收敛, 且其和为 * 一、幂级数的概念 二、幂级数的敛散性 三、幂级数的运算和性质 四、典型例题 五、小结与思考 1.复变函数项级数 定义 其中各项在区域 D内有定义.表达式 称为复变函数项级数, 记作 称为这级数的部分和. 级数最前面n项的和 和函数 称为该级数在区域D上的和函数. 如果级数在D内处处收敛, 那末它的和一定 2. 幂级数 当 或 函数项级数的特殊情形 或 这种级数称为幂级数. 1.收敛定理 (阿贝尔Abel定理) 如果级数 在 收敛, 那末对 的 级数必绝对收敛, 如果 在 级数发散, 那末对满足 的 级数必发散. 满足 阿贝尔介绍 证 由收敛的必要条件, 有 因而存在正数M, 使对所有的n, 而 由正项级数的比较判别法知: 收敛. 另一部分的证明请课后完成. [证毕] 2. 收敛圆与收敛半径 对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种: (1) 对所有的正实数都收敛. 由阿贝尔定理知: 级数在复平面内处处绝对收敛. 例如, 级数 对任意固定的z, 从某个n开始, 总有 于是有 故该级数对任意的z均收敛. (2) 对所有的正实数除 z=0 外都发散. 此时, 级数在复平面内除原点外处处发散. (3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收 敛的正实数. 例如,级数 通项不趋于零, 如图: 故级数发散. . . 收敛圆 收敛半径 幂级数 的收敛范围是以原点为中心的圆域. 答案: 幂级数 的收敛范围是何区域? 问题1: 在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出一般的结论, 要对具体级数进行具体分析. 注意 问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何? 例如, 级数: 收敛圆周上无收敛点; 在收敛圆周上处处收敛. 3. 收敛半径的求法 方法1: 比值法(定理二): 那末收敛半径 证 由于 收敛. 据阿贝尔定理, 根据上节定理三, 所以收敛半径为 [证毕] 即假设不成立 . 如果: 即 注意: 存在且不为零 . 定理中极限 (极限不存在), 即 答案 课堂练习 试求幂级数 的收敛半径. 方法2: 根值法(定理三) 那末收敛半径 说明: (与比值法相同) 如果 1.幂级数的有理运算 2. 幂级数的代换(复合)运算 如果当 时, 又设在 内 解析且满足 那末当 时, 说明: 此代换运算常应用于将函数展开成幂级数. 定理四 设幂级数 的收敛半径为 那末 (2) 在收敛圆 内的导数可将其幂 级数逐项求导得到, 是收敛圆 内的解析函数 . (1) 3. 复变幂级数在收敛圆内的性质 (3) 在收敛圆内可以逐项积分, 简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析; 幂级数可逐项求导, 逐项积分. (常用于求和函数) 即 例1 求幂级数 的收敛范围与和函数. 解 级数的部分和为 级数 收敛, 级数 发散. 且有 收敛范围为一单位圆域 由阿贝尔定理知: 在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1, 例2 求下列幂级数的收敛半径: (1) (并讨论在收敛圆周上的情形) (2) (并讨论 时的情形) 或 解 (1) 因为 所以收敛半径 即原级数在圆 内收敛, 在圆外发散, 收敛的 级数 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的. 在圆周 上, 级数 说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有 级数的发散点. 原级数成为 交错级数, 收敛. 发散. 原级数成为 调和级数， (2) 故收敛半径 例3 求幂级数 的收敛半径: 解 解 所以 例4 求 的收敛半径.