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Finite Element Method (FEM / FEA) Introduction 第一章 FEM的理论基础 两个相邻曲线上的自变函数之差称为自变函数的变分 着眼于相邻曲线上的变化 两个相邻曲线上的导数 的变分： 变分的导数 变分与求导两个顺序可以交换 1.2.2 泛函的变分 泛函增量 If Then 是比d1更高阶的无穷小量 泛函变分的定义 例如 泛函的二阶变分 Example 5 1.3.2 泛函的极值 函数的极值 在 处取得极值的条件： 必要条件 充分条件 泛函的极值 必要条件 充分条件 在 处 在 处 归结为变分问题，求解变分问题。 两种方法：求其近似解； 把变分问题转化为微分方程，求解微分方程 在长度一定的闭曲线中，什么曲线所围成的面积最大？ Problems 2 假设所考虑的曲线用参数形式表示 x=x(s),y=y(s) L= 该封闭曲线的周长 该曲线所围城的面积：R = 由Green公式： 取P=- Q= 泛函驻值的提法： 等周问题即是在满x(s1)=x(s2),y(s1)=y(s2) 条件下，寻找一个曲线函数 使泛函R取驻值。 1.3.3 泛函驻值问题与微分方程问题 ①泛函的驻值问题可能化为微分方程问题，变分法的理论计算就是完成这类工作。 ②从近似解的角度出发，直接求解泛函的驻值，比微分方程更加方便，也更为实用。特别计算机技术的发展，带来了大规模数值计算的可能性。 ③经Euler,Lagrange,Dirichlet,Hilbert,Bernoulli等数学先驱的卓越工作，完成了①的系统方法。 ④但把微分方程问题转换为泛函问题有困难。在物理、力学中，即先猜想一个泛函的驻值问题，再校对是否与原微分方程问题等价。 ⑤泛函驻值的计算（数值）先驱工作中以Ritz,Galerkin,Treft著名。 1、泛函驻值问题与微分方程问题的等效关系----正问题 从能量问题泛函的变分导出相应的微分方程和边界条件 存在极值 一般公式---- Euler定理 利用分步积分 Euler定理 分析第二项，若在边界上已知y，那么,=0于是第二项便恒等于0，反之，若可取任意值，那么应使 中的第三项，如果在边界上不是已知 ，则应有 Solution construct 0 3.14E-09 1 00.018099 0.9 00.034426 0.8 00.047383 0.7 00.055702 0.6 00.058569 0.5 0.0504834 0.055702 0.4 00.047383 0.3 00.034426 0.2 0.0147663 0.018099 0.1 0 0 0 approximate Exact x 1.2.1 Construct the symmetric variational form by integrating the second derivative terms by parts let v satisfy the same trivial boundary conditions as u boundary term vanishes are called weak solutions select functions u=v 1.2 Galerkin variational form Having symmetry in mind we will select functions u and v that produce bounded values of p and q are smooth functions it suces for u and v to have bounded values of Functions (2) where exists are said to be elements of the Sobolev space H1, We identify those functions in H1, that also satisfy boundary conditions as being elements of . (1) (2) The variational problem consists of determining 2D Example---- Construct the symmetric variational form 构造 定义双线性泛函 相应的G