基于潜伏期有传染力的SEIR传染病模型的控制策略.docx

ｄｏｉ：１０．１１６７２／ｄｂｓｄｚｋ２０１４－０１－００６基于潜伏期有传染力的ＳＥＩＲ传染病模型的控制策略王冰杰（白城师范学院数学学院，吉林白城１３７０００）［摘要］研究了潜伏期和染病期均有传染力的ＳＥＩＲ传染病模型，在连续接种和治疗不同策略下平衡点的稳定性，获得了疾病消除的阈值．通过比较两种控制策略的有效性，说明接种比治疗更能有效地控制疾病，同时应用两种控制策略比单独应用一种更加有效．［关键词］ＳＥＩＲ传染病模型；连续接种；治疗；基本再生数；全局稳定性［中图分类号］Ｏ１７５．１［学科代码］１１０·４４［文献标志码］Ａ引言０近年来，许多学者研究了ＳＩＲＳ模型、ＳＥＩＲ模型、ＳＩＱＲＳ模型以及ＳＥＩＲＳ模型［１－７］，更多地考虑了染病者具有的传染力，虽然考虑了潜伏者和染病者均具有传染力，但尚缺少系统性地揭示控制策略在疾病传播中的演变规律．正如文献［８］所言，很多疾病在潜伏期也是有传染力的，只是传染力弱于发病期．最近，文献［９－１０］研究了染病者具有传染力的ＳＩＲ传染病模型，进行了不同控制策略比较．基于以上工作，本文考虑潜伏者和染病者均具有传染力的ＳＥＩＲ模型，比较连续接种和治疗等不同控制策略的有效性．设总人口Ｎ分为易感者Ｓ，潜伏者Ｅ，染病者Ｉ和移出者Ｒ４个部分，并且假设：（１）易感者人群具有常数输入率Ａ 和有效接种率ρ，且接种后具有永久免疫力；（２）潜伏者人群成为染病者比例系数为υ，具有双线性发生率β１ＥＳ，且传染力相对较弱；（３）染病者人群具有双线性发生率β２ＩＳ，有一定的因病死亡率α，治愈率δ和自然恢复率γ，同时经治疗者和自然恢复者也具有永久免疫力．综上，潜伏者和染病者均具有传染力的ＳＥＩＲ模型如下：烄Ｓ′＝Ａ－β１ＥＳ－β２ＩＳ－（μ＋ρ）Ｓ，Ｅ′＝β１ＥＳ＋β２ＩＳ－（μ＋υ）Ｅ，（１）烅Ｉ′＝υＥ－（μ＋α＋δ＋γ）Ｉ，烆Ｒ′＝ρＳ＋（δ＋γ）Ｉ－μＲ．这里，总人口Ｎ＝Ｓ＋Ｅ＋Ｉ＋Ｒ，μ为自然死亡率，所有系数都是正数．由于模型（１）前三个方程不含有Ｒ，所以只需考虑如下系统：Ｓ′＝Ａ－β１ＥＳ－β２ＩＳ－（μ＋ρ）Ｓ，烄烅Ｅ′＝β１ＥＳ＋β２ＩＳ－（μ＋υ）Ｅ，烆Ｉ′＝υＥ－（μ＋α＋δ＋γ）Ｉ．由Ｓ′≤Ａ－（μ＋ρ）Ｓ，Ｎ′＝Ａ－μＮ－αＩ≤Ａ－μＮ知，存在ｔ０＞０，当ｔ＞ｔ０时，区域（２）Ｇ＝｛（Ｓ，Ｅ，Ｉ）Ｔ∈Ｒ３｜Ａ／（μ＋ρ）≥Ｓ≥０，Ｅ≥０，Ｉ≥０，Ａ／μ≥Ｎ≥０｝＋是系统（２）的正向最大不变集，且记Ｇ的内部为Ｇ．［收稿日期］２０１３－０９－０１［基金项目］ 吉林省自然科学基金资助项目；国家外专局项目（Ｚ２０１０２２０００１２）．［作者简介］王冰杰（１９６７—），女，教授，主要从事应用数学研究．第１期王冰杰：基于潜伏期有传染力的 ＳＥＩＲ 传染病模型的控制策略２９根据潜伏者人群传染力相对较弱的假设条件，本文总是在假定２β１Ｓ０＜υ的条件下，研究系统（２）无病平衡点和地方病平衡点的全局渐近稳定性，比较接种和治疗两种不同控制策略在控制疾病中的有效性．据悉，对于系统（２）的防控策略分析，尚未有研究结果发表．预备知识１为了以下证明，现将系统（２）非负平衡点局部性态和持久性以及动力系统轨道稳定性理论陈述如下：定义基本再生数Ａ１２υ（ββ）），犚０＝＋（μ＋α＋δ＋γ由系统（２）易有下面结论．引理１．１病平衡点系统（２）存在一个无病平衡点Ｐ０＝（Ｓ０，０，０）∈Ｇ；当犚０＞１时，系统（２）还存在唯一地方Ｐ＊＝（Ｓ＊，Ｅ＊，Ｉ＊）∈Ｇ，０（犚０ρ）（犚Ｓ０犚０υ（＋Ｓ００－１）μ＋ρμ，Ｉ＊．犚０（μ＋υ）犚０（μ＋υ）（μ＋α＋δ＋γ）引理１．２当犚０＜１时，系统（２）的无病平衡点Ｐ０ 是局部渐近稳定的；当犚０＞１时，Ｐ０ 点是不稳定的，而系统（２）的地方病平衡点Ｐ＊ 是局部渐近稳定的．证明（１）在Ｐ０ 点处系统（２）的Ｊａｃｏｂｉａｎ矩阵为烄－（μ＋ρ）－β１Ｓ０β１Ｓ０－（μ＋υ）υ－β２Ｓ０β２Ｓ０烌Ｊ（Ｐ０）＝，００－（μ＋α＋δ＋γ）烎烆特征方程为（λ＋μ＋ρ）（λ２＋Ｃ１λ＋Ｃ２）＝０，λ１＝－（μ＋ρ）＜０，λ２，３＝１［－Ｃ１±槡Ｃ２－４Ｃ２］．特征值为１２其中：Ｃ１＝（μ＋α＋δ＋γ）＋（μ＋υ）－β１Ｓ０，Ｃ２＝（μ＋υ）（μ＋α＋δ＋γ）（１－犚０）．当犚０＜１时，Ｃ１＞０，Ｃ２＞０，特征值均为负的，故无病平衡点Ｐ０ 是局部稳定的；当犚０＞１时，有一个特征值为正的，因此Ｐ０点是不稳定的．（２）在Ｐ＊（犚０＞１）点处系统（２）的Ｊａｃｏｂｉａｎ矩阵为烄－（μ＋ρ＋β１Ｅ＊＋β２Ｉ＊）－β１Ｓ＊－Δυ－β２Ｓ＊β２Ｓ＊烌Ｊ（Ｐ＊）＝，β１Ｅ＊＋β２Ｉ＊０－（μ＋α＋δ＋γ 烎）烆２υＳ＊βμ＋υ－β１Ｓ＊＝＝Δ＞０，μ＋α＋δ＋γ特征方程为其中：λ３＋ａ１λ２＋ａ２λ＋ａ３