2008、2009高考题选编答案 椭圆.doc

2008、2009高考题选编 1.（2008北京卷理19）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1． （Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程； （Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值． 解：（Ⅰ）由题意得直线的方程为． 因为四边形为菱形，所以． 于是可设直线的方程为． 由得． 因为在椭圆上，所以，解得． 设两点坐标分别为， 则，，，． 所以．所以的中点坐标为． 由四边形为菱形可知，点在直线上， 所以，解得．所以直线的方程为，即． （Ⅱ）因为四边形为菱形，且， 所以．所以菱形的面积． 由（Ⅰ）可得， 所以． 所以当时，菱形的面积取得最大值 2.（2008福建卷理21）如图、椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点. （Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； （Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有,求a的取值范围. 解：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形， 所以, 因此，椭圆方程为 (Ⅱ) 设 (ⅰ)当直线 AB与x轴重合时， (ⅱ)当直线AB不与x轴重合时， 设直线AB的方程为： 整理得 所以 因为恒有，所以AOB恒为钝角. 即恒成立. 又，所以对恒成立， 即对恒成立,当时，最小值为0， 所以， , ，即, 解得或(舍去)，即, 综合（i）(ii)，a的取值范围为. 3.（2008辽宁卷理20）在直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为，直线与C交于A，B两点． （Ⅰ）写出C的方程； （Ⅱ）若，求k的值； （Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k0时，恒有||||． 解析：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴， 故曲线C的方程为． 3分 （Ⅱ）设，其坐标满足 消去y并整理得， 故． 5分 若，即． 而， 于是， 化简得，所以． 8分 （Ⅲ） ． 因为A在第一象限，故．由知，从而．又， 故， 即在题设条件下，恒有． 12分 4.（2008全国Ⅱ卷理21文22）设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点． （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）求四边形面积的最大值． 如图，设，其中， 且满足方程， 故．① 由知，得； 由在上知，得． 所以，化简得， 解得或． 6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为， ． 9分 又，所以四边形的面积为 ， 当，即当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分 解法二：由题设，，．设，，由①得，， 故四边形的面积为 9分 ， 当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分 5.(2009山东卷理)（本小题满分14分） 设椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点， （I）求椭圆E的方程； （II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。 解:（1）因为椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点, 所以解得所以椭圆E的方程为 （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则△=,即 ,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且. 因为, 所以, , ①当时 因为所以, 所以, 所以当且仅当时取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时,. 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时, 综上, |AB |的取值范围为即: 6.（2009全国卷Ⅱ文、理） 已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为 （I）求，的值； （II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？ 若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。 解:(I）设，直线，由坐标原点到的距离为 则，解得 .又. （II）由(I）知椭圆的方程为.设、 由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设 代入椭圆的方程中整理得，显然。 由韦达定理