第13周讲课提纲(数项级数)_732407982.pdf

（工科）第13 周讲课提纲 第 1 页 共 29 页 Created By Huzm P313 1 （1），2 （2 ）（4 ）（定义、性质）； P321 1 （4 ），2 （3 ）（6 ）（7 ），4 ；（正项级数） P329 1 （4 ）（5 ）（6 ），2 （1）（2 ）（3 ）（任意项级数） 第 8章 无穷级数 §8.1 数项级数的概念与（收敛级数的）性质 一、数项级数的概念 引例：（1） 在“一尺之锤，日取其半，万世不竭”的例子中，我们把每天取下来的长 度加起来，得到一个无穷多项的和 1 1 1 1 + + + ⋯+ + ⋯， 2 4 8 2n 在这个和式中，虽然牵扯到了无穷多项，但它们加起来的总长度应该等于1 ． （2 ）假设某人远足，总距离为 ，前一半距离的速度为 ，以后每走剩余距离的一半 2d v 后，速度变成原来的q (0 q1) 倍，问此人行完全程需要多少时间 2d 2d 2d d 4 8 2n+1 + + + ⋯+ + ⋯， v qv qqv( ) qq( n−1v) d 1 d 1 d 1 d + + + ⋯+ + ⋯． v 2qv (2q)2 v (2q)n v 这也需要研究无穷多个数之和的问题！ （3 ）我们知道 1 = 0.3333⋯= 0.3 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + ⋯， 3 这又是一个无穷多项相加等于一个确定数的例子． 1．级数的定义 定义：设{a }是一个数列，称形式和 a + a + ⋯+ a + ⋯为无穷数项级数，简称无穷 n 1 2 n ∞ n 级数、或级数，记作 a ．a 称为级数的通项(general term)；s = a 称为级数的 n ∑ n n n ∑ k = n 1 k=1 项和（部分和partial sums），a = s − s ． n n n−1 Note：形式和到底能代表什么？ 例如，对于 s = 1− 1+ 1− ⋯+ (−1)n−1 + ⋯，就有以下几个著名的“结论”： （工科）第13 周讲课提纲 第 2 页 共 29 页 Cr