第11周讲课提纲(换元分部、几何应用)_725201181.pdf

（工科）第11 周讲课提纲 第 1 页 共 17 页 Created By Huzm P276 1 （1）（3 ）（5 ）（11 （13）（17），4 （换元积分法、分部积分法） P289 1(3)(4 ），2(3) ，3 （2 ），5 （1），6 （1），7 （1）（几何应用） §7.4 定积分的换元积分法与分部积分法 一、定积分的换元积分法 定理：如果函数f (x ) 在区间[a, b] 上连续，函数x = g (t ) 在区间[α , β ] 上有连续导数，且 g (t ) ∈[a, b] ，g (α ) = a, g (β ) = b ，那么 b β ∫a f (x )dx = ∫α f (g (t ))g ′(t )dt ． 此式称为定积分的换元积分公式，利用换元积分公式求定积分的方法称为换元积分法． Note：连续性条件既保证了原函数的存在性，又保证了N-L 公式成立． 证明：因为函数f (x ) 在区间[a, b] 上连续，所以存在原函数．设F (x ) 是f (x ) 的一个原 函数，即 ′ F (x ) = f (x ), x ∈[a,b] ． 由g (t ) 可导，根据复合函数的链导法则，得 ′ ′ ′ ′ [F (g (t ))] = F (g (t ))g (t ) = f (g (t ))g (t ) ， 又因为f (x ) 与f (g (t ))g ′(t ) 均是连续函数，所以根据牛顿 莱布尼兹公式，得 b ∫a f (x )dx =F (b ) −F (a ) ， β ∫α f (g (t ))g ′(t )dt =F (g (β )) −F (g (α )) =F (b ) −F (a ) ． b β 所以 ∫a f (x )dx = ∫α f (g (x ))g ′(t )dt ． Problem ：不用N-L 公式，如何证明两个积分值相等？（定积分定义！） 利用定积分的换元积分法，既可以求具体函数的定积分值，也可以讨论不同定积分之间 的关系，研究与定积分有关的理论问题．在运用定积分的换元积分法时，特别要注意两个定 积分积分限的对应关系． 2 2 a 2 2 2a x − a 例1．计算定积分 （1） a − x dx (a 0) ； （2 ） dx (a 0) ． ∫0 ∫a 4