上海师大固体物理第五章4紧束缚近似法.ppt

（2）紧束缚近似的数学处理方法 Bloch定理表述2，Bloch函数是倒易空间周期函数， 也可在实空间作傅立叶展开成Wannier函数 紧束缚近似的物理： 零级近似：将每个原子看作与周围原子无相互作用，其解是N个孤立原子的N重简并的解，孤立原子的分裂能级即成分裂的N重简并能级。 微扰法：N重孤立原子的简并解线性组合，N重简并能级在简并微扰作用下打开，形成能带。 概念题：将布洛赫函数中的调制因子uk(r)展成付里叶级数, 对于近自由电子, 当电子波矢远离和在布里渊区边界上两种情况下, 此级数有何特点? 在紧束缚模型下, 此级数又有什么特点? 答： 由布洛赫定理可知, 晶体中电子的波函数 由平面波方法得知， ，因此 对于近自由电子, 当电子波矢远离布里渊区边界时, 它的行为与自由电子近似, uk(r)近似一常数。因此其展开式中, 除了?(0)外, 其它项可忽略。 当电子波矢落在与倒格矢Kn正交的布里渊区边界时, 与布里渊区边界平行的晶面族对布洛赫波产生了强烈的反射, 展开式中, 除了?(0)和?(Kn)两项外, 其它项可忽略。 * 第五节 紧束缚近似法 5.5.1 万尼尔函数 5.5.2 模型和微扰计算 5.5.3 原子能级与能带的对应关系 5.5.4 近自由电子近似和紧束缚近似的比较 5.5.1 万尼尔函数 所以可以将 在波矢空间作傅里叶展开 在周期性势场中运动的波函数一定是布洛赫波函数，而布洛赫波函数在 空间具有周期性，即： 展开系数 称为万尼尔（Wannier）函数。 1. 定义 (2) 万尼尔函数的性质 布洛赫定理 Wannier函数是以Rn为中心的波包，为局域函数，具有定域的特性。 变量总是以 出现，即Wannier函数是以R为中心的函数，即处于R的局域函数，波函数可写成 不同能带或不同格点的万尼尔函数是正交的，即 (3) 布洛赫和： 当晶体中原子间距增大时，电子被束缚在原子附近的几率比它远离原子的几率大得多，电子在某格点附近的行为同孤立原子中电子的行为相似。紧束缚条件下电子的波函数具有如下两个特点： 当r偏离格点Rn较大时，波函数 是一个小量； 当 时， 与孤立原子波函数 相近。 由于r偏离格点Rn稍大时 是个小量，所以用 来描述 能概括紧束缚条件下波函数的上述两个特点。我们取： 与 的关系 ---上式称为布洛赫和，它是原子轨道的线性组合。 把上式代入万尼尔函数， 利用万尼尔函数的正交性，得到 我们取 ，得到 如果晶体是由N个相同的原子构成的布喇菲晶格，则在各原子附近有N个相同的能量 的束缚态波函数 ，因此在不考虑原子间相互作用时，应有N个类似的方程。 这些波函数对应于同样的能量 ，是N重简并的。考虑到微扰后，晶体中电子运动波函数应为N个原子轨道波函数的线性组合。 即用孤立原子的电子波函数 的线性组合来构成晶体中电子共有化运动的波函数 ，因此紧束缚近似也称为原子轨道函数线性组合法,简称 LCAO。 与 相比， 晶体中的电子在某个原子附近时主要受该原子势场 的作用，其它原子的作用视为微扰来处理，以孤立原子的电子态作为零级近似。 5.5.2 模型和微扰计算 1. 模型 2. 势场 表示位于 的孤立原子在 处的势场， 表示求和不含 这一项。 O 如果不考虑原子间的相互影响，在格点 附近的电子将以原子束缚态 绕 点运动。 表示孤立原子的电子波函数。 3. 方程与计算 O (1) 孤立原子运动方程 表示孤立原子中的电子能级，?表示所处能级1s，2s，2p等。 (2) 晶体中电子运动方程 将电子波函数 代入薛定谔方程 上式左乘 并对整个晶体积分得， 令 利用周期性边界条件容易证明波矢在第一布里渊区共有N个值(N为晶体的原胞个数)，对应N个准连续的能量本征值形成一个能带。亦即，孤立原子的能级与晶体中的电子能带相对应。如2s、2p等能带。 Jsn 表示相距为 的两个格点上的波函数的重叠积分，它依赖于 与 的