三角形面积计算公式推导有没有基本方法？.doc

三角形面积计算公式推导有没有基本方法？ 浙江省嘉兴市南湖区教研室 费岭峰 从淡化公式探究、注重公式应用，转到注重面积计算方法的探究理解，这是新课程理念下《三角形的面积计算》教学与传统教学的最大区别。不过，在实践中，一个新的问题又随之产生：三角形面积计算公式的推导（或理解）过程有没有一种基本方法？教材所提供的“用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形”的推导方式（如右图），是不是三角形面积计算公式推导（或理解）的基本方法？ 笔者以为，要回答这两个问题，我们得首先思辨以下两个问题： 一、三角形面积计算公式推导（或理解）的教学价值是什么？ 如前所说，“三角形的面积计算”教学，从淡化方法探究、只重公式应用到把公式推导过程放大，突出推导过程的探究，这是一种教学理念转变的体现。拉长面积计算方法的探究过程，突出探究活动中多种思维过程的呈现，是一种激发学生数学思考，促进学生思维活动充分展开的有效手段。再则因为学生在平行四边形面积计算公式的探究理解过程中，已经有了化归思想方法的应用经验，所以学生在三角形面积计算公式推导理解时，有把“三角形面积计算”这样一个新的问题转化为已学过图形的面积计算问题来解决的经验和能力。 因此，笔者认为，三角形面积计算公式推导理解过程放大的教学价值，更多在于引导学生体验“化归思想”在数学问题解决中的作用，进一步体会以转化的方式来解决新问题的一种学习方式的经历与体验。 二、三角形面积计算公式推导（或理解）不同解释过程中的思维方式有否优劣之分？ 从教学实践来看，学生在三角形面积计算方法的解释过程中，一般会呈现以下几种转化的方式： 方法一： S＝a×（h÷2） 方法二： S＝a×（h÷2） 方法三： S＝a÷2×h 方法四： S＝a×h÷2 方法五： S＝a×h÷2 对于以上五种方法，从思维方式上分析，方法一至方法三均是以“剪拼”转化的方式把三角形本身转化为长方形或平行四边形，其学习基础是刚刚学过的平行四边形面积计算方法探究中转化的思想及转化的过程（剪拼），过程中涉及到的知识点是中位线概念与旋转的相关知识。方法四和方法五则是以“拼组”转化的方式把三角形转化为平行四边形或长方形，其学习基础则是在四下“三角形”单元中学过的“图形拼组”的活动经验，过程中涉及到的知识点为图形全等及平移、翻转等知识。因此，从思维方式上来看，学生在把新的数学问题转化为已有的数学问题过程中，方法上其实没有孰优孰劣之分。 再从对后续学习的影响来看，最为直接的当然是梯形面积计算方法的探究理解。事实上，无论是“剪拼”转化，还是“拼组”转化，均可以作为“梯形面积计算”问题转化为已学过的图形面积计算的问题来研究。 如“拼组”转化： S＝（a＋b）×h÷2 如“剪拼”转化： S＝（a＋b）×（h÷2） 而从长远来看，“剪拼”转化与“拼组”转化同样是两种有着较高应用价值和思维价值的转化方式，后续学习几何知识中，许多组合图形的面积计算，经常会用到“剪拼”或者“拼组”这两种方式进行化归后，得到计算图形面积的方法的。如对“剪拼”转化来说，最为典型的就是圆的面积计算公式的推导。而在一些等积变形问题的解决中，则经常会用到“剪拼”转化的方式来思考的。 “拼组”转化同样如此，请看下例： 一个直角三角形的斜边长20cm，两条直角边的长度相差4cm，计算这个直角三角形的面积是多少平方厘米？ 解答这个问题，如果用方程结合“勾股定理”来算出两条直角边的长度当然也行，但小学生没有学过“勾股定理”，如果能用“拼组”转化的方式来解答此题（如右图，用这样的四个三角形如图那样拼组成一个边长为20cm的正方形），则相对比较容易理解。 解答过程如下： ∵直角三角形的斜边长20cm ∴大正方形的面积是20cm×20cm＝400cm2 又∵直角三角形两条直角边的长度相差4cm ∴里面小正方形的面积是4cm×4cm＝16cm2