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三国杀中的概率计算及应用
摘要:?????? 本文计算了三国杀中一些有趣的概率结果,包括:甄姬洛神的期望为1,与周瑜确定的1张相等,如果只比较洛神和英姿两个技能,前者是占优的。黄月英的期望值并不像想象的那么高,仅为0.798。黄盖的初始平均手牌大约为15张,周泰可能性最大的死亡时间是第5次判定,计算平均值得,周泰的平均死亡时间是 5.43。
简介:????? 今天概率论课上,老师讲到几何分布时一时找不到好的例子,站在讲台上发楞,而我却沉浸在了一段美好的回忆之中。那是灵山脚下的一个月黑风高的夜晚,我作为甄姬独斗主公,就在阴谋已败,满血主公看着红血的我抚掌而笑的时候,我发动了洛神,于是牌局上出现了如下序列:黑的,黑的,黑的,黑的,黑的……主公在一声高过一声的惊呼中含恨而终。带着对甄姬的景仰,我尝试着计算了一下甄姬洛神的期望,发现结果竟然与预想的不一样,于是我又对其他RP型英雄进行了分析,然后就有了这篇水文。
1.甄姬与周瑜的比较???? 甄姬 薄幸的美人???? 洛神:回合开始阶段,可进行主动判定,若判定结果为黑色花色,视为判定成功,则将该判定牌收归手牌,并可以继续判定;若结果为红色花色,视为判定失败,技能终止。可以不断的判定直到不愿意继续或判定的结果变为红色为止。??? 周瑜 大都督??? 英姿:摸牌阶段摸三张牌???? 公瑾的技能一目了然,多摸一张牌,而甄姬就要罗嗦的多,概括起来就是除了本来那两张以外,还可以一直摸直到摸到红的为止。我们见过一直被红牌憋死的甄姬,也见过黑牌如雨犹如神助的甄姬。为了搞清楚甄姬的技能到底有多大价值,我们来计算一下甄姬额外摸牌数量的期望。???? 由概率论的知识可以知道,甄姬摸牌张数X是服从几何分布的离散随机变量,其中参数p为1/2。用a表示甄姬额外摸牌数量的期望,则有
这个数列的求和很简单
这说明甄姬洛神的期望为1,与周瑜确定的1张相等(之前我觉得甄姬的期望会小一些),单从期望值来看,两者没有什么区别。但是考虑到三国杀特有的性质,尤其是诸葛连弩等设备的存在性,牌多的时候威力增加得非常之快,玩家存在着一种风险追求的心理,于是有???? 性质1. 一般情况下,手牌的效用函数u关于手牌张数x是单调递增的凸函数。????? 用凸函数的性质我们不难证明,甄姬的技能造成的手牌效用大于周瑜的效用,也就是说,一般情况下,如果只比较洛神和英姿两个技能,前者是占优的。2. 更加招恨的月英姐???? 黄月英归隐的侠女???? 集智:当她使用一张锦囊牌后,立即从牌堆顶摸一张牌加入手牌。???? 相信大家都有看着黄月英打单机看到睡着的经历,有了上面的结果,我们可以也尝试着计算一下黄月英的期望。由于锦囊里无中生有是非常引人注目的,我们将这个问题单独拿出来讨论。首先,为了简化计算,我们做如下假设:???? 假设1. 摸牌的过程是无放回抽签模型。这就是说,任何时候,从牌堆上方摸到某一种牌*的可能性p*就是这种牌的张数在总张数里占的比例。这不仅是对于自己摸牌的阶段来说,也忽略了别人手中有你要的牌的可能。在甄姬的讨论中,我们已经用到了这一假设。这一假设引起的误差是很小的。事实上,计算所得的期望一般很小,在1 左右,所以摸到很多张同种牌的概率很小,与我们的假设符合。
我们首先讨论无中生有对于一般玩家的影响。???? 用p*表示某次摸牌摸到无中生有的概率,有p*=a*/s, a*是无中生有的张数,s是总张数,在某次无中生有摸到的两张牌中至少有一张无中生有的概率是1-(1-p*)×(1-p*),由于p*很小,尽似取为 2p*。实际情况a*=4,s=109,p*=0.037. 定义n次无中生有的牌中还有无中生有的情况为n+1阶无中生有,于是从上面的推理中我们得到:???? 性质2. 高阶无中生有可以忽略。???? 下面我们开始计算黄月英附加摸牌张数的期望a。在这里也要做一个假设,黄月英会将所有能用掉的锦囊用掉,同时忽略所有五谷丰登的影响(太崩溃了)。首先计算使用一张锦囊后集智带来的额外张数b。用p表示黄月英下一张摸到非延时锦囊的概率(不包括无中生有)。根据类似几何分布的性质,我们可以得到关系:??????????????????????????????? b=1+p×b+p*×(3+3b)???? 解出b得:??????????????????????????????? b=(1+3p*)/(1-p-3p*)???? 游戏中,p=18/109=0.165. 按计算器得b=1.53. 由此我们可以开始计算a.(这是一个综合考虑一般锦囊和无中生有的浩大工程...)??????????? a=p×p×2b+2p×b+p*×p*×2(2+b)+2p*×(2+b)-2p×p*(2+2b)=0
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