一类两点边值问题的差分方法2.doc

一类两点边值问题的差分方法 摘要 对于两点边值问题主要有直接差分化和有限体积法，本文主要讨论利用直接差分化法，将求解两点边值问题的差分格式推广到更高精度。在构造差分格式上采用了基于Taylor展开的途径。通过数值算例，提出了使用Matlab软件编程进行快速求解的方法，并与编制的计程序的计算结果进行了对比。结果表明，使用Matlab软件编程求解，能够快速得到满意的结果。 关键词: 边值问题；差分方法；Taylor展开；数值解 前言 考虑以下两点边值问题 其中，，为已知函数，且， 网格剖分 给定正整数N，设步长为，取N+1个节点，有 这些节点将区间分成N个小区间 于是得到区间的一个网格剖分。 截断误差 对 Taylor级数展开可得 两式相减得到 带入原方程中得到如下所示的差分方程 其中为截断误差， 差分格式 去掉截断误差项 用近似值代替精确值得到 加上边界条件最终得到差分格式 差分格式的求解 差分格式化简为如下形式 系数矩阵形式如下 数值例子 给定问题 设该定解问题的精确解为，则 可得到 附录A： 利用直接差分法，通过Matlab软件编程求解可得到如下图及表 表（平均误差=） 正整数N 平均误差 8 4.525424363269589e-005 16 2.989430919579187e-006 32 1.919584925995500e-007 64 1.215867569589098e-008 128 7.649767853289037e-010 图（当a=0，b=1,N=100时） 附录B： 程序流程图： 解题程序流程图 追赶法流程图 附录C： Matlab编程代码： %Matlab 7.0 %The scheme of a class of two order ordinary differential equation boundary value problems of differential %consider equation:, %Non-homogeneous items:= %initial conditions: %exact solution: clear all; format long e; N=input(请输入N的值：); h=1/N; for i=1:N x(i)=i*h; end for i=1:N-2 c(i)=-1; end for i=2:N-1 a(i)=-1; end for i=1:N-1 q(i)=x(i); b(i)=2+h*h*q(i); end for i=2:N-2 f(i)=-h*h*(2.*cos(x(i)).*exp(x(i))+x(i).*sin(x(i)).*exp(x(i))); end f(1)=-h*h*(2.*cos(x(1)).*exp(x(1))+x(1).*sin(x(1)).*exp(x(1))); f(N-1)=-h*h*(2.*cos(x(N-1)).*exp(x(N-1))+x(N-1).*sin(x(N-1)).*exp(x(N-1)))+exp(1)*sin(1); m(1)=c(1)/b(1); y(1)=f(1)/b(1); for i=2:N-2 m(i)=c(i)/(b(i)-a(i)*m(i-1)); end for i=2:N-1 y(i)=(f(i)-a(i)*y(i-1))/(b(i)-a(i)*m(i-1)); end u(N-1)=y(N-1); for i=N-2:-1:1 u(i)=y(i)-m(i)*u(i+1); end t=h:h:(N-1)*h; U=sin(t).*exp(t); plot(t,U,g-+:,t,u,k:); legend(U,’)