复变函数与场论简明教程习题参考.doc

复数与复变函数 1、求下列复数的实部、虚部、模、辐角及共轭复数: 分析:为了求复数的实部、虚部、模、辐角及共轭复数，应先将复数化成的形式(其中为实数)。 解 (1)，，，， ， (2)，，， ，不确定， (3)因为， ， 所以， ，，， ， (4)，，， ， ， 2、把下列复数化为三角表示式及指数表示式: 解 (1) 由于，。因此三角表示式为: 指数表示式为: (2) 由于，。因此三角表示式为: 指数表示式为: (3) 由于，。 因此三角表示式为: ； 指数表示式为: ； (4) 由于 ， 。 因此式 指数表示式为： (5) 由于 ， ，所以 根据三角诱导公式： 式 指数表示式为： (6)由于原式可以化简成： 同上（5）求解过程。 (7)由于 ，，所以 3、指出复数z与复数 的关系 ，则 因此复数z与为模相等，辐角主值相差的两个复数4、求下列各式的值 解 解 解 因为 所以其值为 ，，， ，， 解 因为 ，所以 故其值为 ，， 5、当时，求 的最大值，其中正整数，为复数，所以 。 当且仅当与同向且时等号成立，故的最大值为。 6、将下列坐标变换公式写成复数形式 (1)平移公式： ； 解 设，则平移公式的复数形式为 (2)旋转公式：； 解 设，则 令，即旋转公式的复数形式为 7、试利用推导： ; (2) 。 证明：因为，所以设定，把z带入已知等式，得到： 等式左边为： 等式右边为： 所以原题中（1）和（2）得证。 8、设为自然数，且，其中，为实数证明 证明 ， 命题得证。9、设三点适合条件，。证明：是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。，即在半径为圆上。 只需证为正三角形，即。 同理可证得 故，命题得证。，即在半径为圆上。 只需证为正三角形，即夹角为即可 ，以点及原点顶点的三角形为等边三角形。 同理，及原点顶点的三角形为等边三角形如图-1 故命题得证。10、证明3个复数成为等边三角形顶点的充要条件是它们适合等式： 证明： 证明其性： 又 (1)式与(2)相除，得，即。代回(1)可得，。所以相等即为等边三角形。其性：为等边三角形通过旋转得到另一边。为基，假设旋转得到。则。 所以，。 两边平方可得：。得证 11、设是1的次方根，但，证明满足方程。 解 依题意，所以。 ，即，得证。 12、试证如果复数是实系数方程的根那么 也是它的。，。则。 因为是实系数多项式，复数的的第V性质课本。 又因为，故，。 所以。得证 也是方程的。13、试证：、0和三点共线； (2)、、-1、1四点共) 证明：，，。 则，。 所以，即、0和三点共线，，，，。 在复平面中，过原点(0,0)，也过原点故与线段相交于原点。，，， 。 所以。根据相交弦定理的逆定理，命题得证。14、求下列方程所表示的曲线（其中为实参）。 (1)； 解 设，则，即。 所以其表示的曲线为。 (2)； 解 设，则，即。 所以其表示的曲线为。 (3)为实常数 ，则，即。 所以其表示的曲线为。 (4)为实常数为复数 ，则，即。 所以其表示的曲线为。 15、求下列方程表示曲线 (1)； 解 设，则。 两边平方，得，即以为圆心，半径的圆周。(2)； 解 设，则。 两边平方，得，即为。(3)； 解 设，则。 ，即。 所以其轨迹为的射线。 (4) 解 依题意 所以其轨迹为以为圆心，1半径的圆周。(5)(为复常数 所以其轨迹为以为圆心，为半径的圆周。16、描出下列不等式的轨迹图形，并指明它是有界的还是无界的，连通的还是多连通的。(1)； 解 设，则，区域如图-2所示。 该区域为无界的单连通域。(2)； 解 设，则，区域如图-3所示。 该区域为无界的多连通域。(3)； 解 设，则 区域如图-4所示。该区域为多连通域。 图1-4 (4)； 解 设，则 区域如图-5所示。该区域为连通域。(5)； 解 设，则根据椭圆的几何性质，易得轨迹长轴短轴为的椭圆区域为，如图-6所示。该区域有界的单连通域。 图1-6 (6)； 解 设，则根据双曲线的几何性质，易得轨迹为，半虚轴为 的双曲线的左支即为，如图-7所示。该区域为无界的单连通域。 图1-7 (7)； 解 设，则