[理学]数学分析上册练习题及答案第一_二章.doc

第一章课后习题详解 1.设为有理数，为无理数.证明：（1）是无理数；（2）当时，是无理数. 证明:这种题目通常用反证法. 假设是有理数,则是有理数,这与题设为无理数相矛盾. 故是无理数. 假设是有理数, 又,则为有理数,这与题设是无理数相矛盾. 故是无理数. 2.试在数轴上表示出下列不等式的解:(1) (2)(3) 解(1)由原不等式有或前一个不等式的解是,后一个不等式的解为，故的解为. (2)当时,由原不等式有,从而有,所以,解此不等式,得,故的解为. 由题设知解之得: .又从而不等式两端平方,有,因之有,所以,由此解得,又,故有,但不符合原不等式,所以原不等式无解. 3.设,证明:若对任何正数有矛盾,则. 证明:假设,则根据实数集的有序性，有或，从而必有，令，则为正数且满足，这与假设矛盾，从而必有成立.即原命题成立. 4.设,证明,并说明其中等号何时成立. 证明:由于所以因与同号,从而.等号成立当且仅当成立,即进而时成立. 5.证明:对任何有(1) (2) 证明此题目运用绝对值的三角不等式的性质. 因为所以 因为所以 6.设(表示全体正实数的集合),证明你能说明此不等式的几何意义吗? 证明对任意的，由有两端同时加，有 即，所以，又，两端再同加，则，即。不等式的几何意义为：当时，表示以三点为顶点的三角形，其两边之差小于第三边。当时，此时不等式为等式三角形变为以为端点的线段。 7．设证明介于1与之间。 证明 因为且，所以 当时，有从而， 当时，有从而， 所以总是介于1与之间。 8．设p为正整数。证明：若p不是完全平方数，则是无理数。 证明 反证法 假设是有理数，则存在正整数，且互质，使得，于是可见能整除，由于互质，从而它们的最大公约数为1，这与互质矛盾，所以是无理数。 9．设为给定实数。试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： （1）（2）（3） 解 （1）原不等式可化为因此有即由此可得不等式组或即或 故当时，不等式的解为当时，不等式的解为当时，不等式的解集为. （2）原不等式可化为即故当故当时，不等式的解为当时，不等式的解集为 （3）当时，原不等式的解集为 当时，原不等式等价于：，因此有 当时，不等式的解集为 时， 如果，则解为即或 如果，则解为即 2．数集确界原理 1．用区间表示下列不等式的解： （1）（2） （3）为常数，且）； （4） 解 （1）当时，不等式化为，其解为； 当时，不等式化为无解。 综合，原不等式的解为，用区间表示为 （2）绝对值不等式等价于而这又等价于不等式组：或 前者不等式的解为后者的解集为从而原不等式的解集为 （3）法一 运用不等式的等价形式来计算。 原不等式等价于不等式组: 或或或 第一个不等式的解集为第二个不等式的解集为第三，四个不等式的解集均为空集，所以原不等式的解集为 法二 构造函数则由，知 因此当且仅当 故原不等式的解为 （4）若，则当且仅当时， 再由正弦函数的周期性知：的解集是 2．设S为非空数集，试对下列概念给出定义： （1）S无上界；（2）S无界。 解 （1）S无上界可定义为：设S为非空数集，若对任意的总存在，使得则称数集S无上界。 （2）S无界可定义为：设S为非空数集，若对任意整数总存在，使得则称数集S无界。 3．试证明由（3）式所确定的数集S有上界而无下界。 证明 运用有上界，无下界的定义来证明。 由（3）式所确定的数集对任何任何一个大于2的实数都是S的上界，故S有上界。 对任意取存在而因此数集S无下界。 4．求下列数集的上，下确界，并依次定义加以验证： （1） （2） （3）为（0，1）内无理数}； （4） 解 先根据上，下确界的定义推出的性质 猜测出S的上，下确界，再根据上，下确界的定义来验证。 （1）下面以定义加以验证。 因等价于所以对任意的，有且即 分别是S的上，下界，又对任意的不妨设于是存在使，使所以由上，下确界的定义知 （2）下面以定义验证。 对任意的所以1是的下界。因对任意的取 而故无上界，所以对任意的存在使所以 （3）下面以定义验证。 对任意的有所以1，0分别是的上，下界，又对任意的不妨设由无理数的稠密性，总存在无理数则有无理数使有无理数使所以 （4）下面以定义验证。 对任意的有所以分别是的上，下界。对任意的必有正整数使则存在使所以 又存在使所以 5．设为非空有下界数集。证明： 证明：运用上下确界的定义证明。 充分性 设则对一切有而故是数集中最小的数，即 必要性 设则下面验证 对一切有即是的下界； 以任何只需取则从而 6．设为非空数集，定义证明：（1）（2） 证明：依据上，下确界的定义直接验证。 令根据下确界的定义知满足下列性质： 对一切有 对任何存在使得 由（i）知，即即对中的任意元素有即是的上界； 由（ii），对任何存在使得即是的最小