2010中考数学压轴题详解1.doc

2010中考数学压轴题详解1.（09年福建龙岩26．与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连结BC、AD. （1）求C点的坐标及抛物线的解析式；（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后 再沿x轴对折得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q. 问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.（09年福建龙岩 解得∴抛物线的解析式为： （2）点E落在抛物线上. 理由如下： 由y = 0，得. 解得x1=1，x2=4. ∴A（4，0），B（1，0）. ∴OA=4，OB=1. 由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，∴点E的坐标为（3，－1）.把x=3代入，得，∴点E在抛物线上. （3）法一：存在点P（a，0），延长EF交CD于点G，易求OF=CG=3，PB=a－1. S梯形BCGF = 5，S梯形ADGF = 3，记S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，下面分两种情形：①当S1∶S2 =1∶3时，此时点P在点F（3，0）的左侧，则PF = 3－a，由△EPF∽△EQG，得，则QG=9－3a，∴CQ=3－(9－3a) =3a －6由S1=2，得，解得；②当S1∶S2=∶1时此时点P在点F（3，0）的右侧，则PF = a－3，由△EPF∽△EQG，得QG = 3a－－－，解得.综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）法二：存在点P（a，0）. 记S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，易求S梯形ABCD = 8当PQ经过点F（3，0）时，易求S1=5，S2 = 3，此时S1∶S2不符合条件，故a≠3.设直线PQ的解析式为y = kx+b(k≠0)，则，解得，∴. 由y = 2得x = 3a－6，∴Q（3a－6，2）∴CQ = 3a－6，BP = a－1，.下面分两种情形：①当S1∶S2 = 1∶3时= 2； ∴4a－7 = 2，解得；②当S1∶S2 =∶1时； ∴4a－7 = 6，解得；[综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）2.（09年福建宁德）26．（本题满分13分）如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式； 3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标． （09年福建宁德26题解析）解：（1）由抛物线C1：得 顶点P的为（-2，-5）∵点B（1，0）在抛物线C1上 ∴解得，a＝ （2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G∵点P、M关于点B成中心对称∴PM过点B，且PB＝MB∴△PBH≌△MBG∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3∴顶点M的坐标为（4，5） 抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到∴抛物线C3的表达式为（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到∴顶点N、P关于点Q成中心对称由（2）得点N的纵坐标为5设点N坐标为（m，5） 作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G 作PK⊥NG于K ∵旋转中心Q在x轴上∴EF＝AB＝2BH＝6 ∴FG＝3，点F坐标为（m+3，0）H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），根据勾股定理得 PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50 NF2＝52+32＝34 ①当∠PNF＝，∴Q点坐标为（，0）②当∠PFN＝，∴Q点坐标为（，0）③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90o综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形． ………13分 3.（09年福建莆田）25．（14分）已知，如图1，过点作平行于轴的直线，抛物线上的两点的横坐标分别为1和4，直线交轴于点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点、，连接．（1）求点的坐标； （2）求证：；（3）点是抛物线对称轴右侧图象上的一动点，过点作交轴于点，是否存在点使得与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在