[理学]曲线积分和曲面积分.ppt

七 曲面积分之间的转换 单一型 第一类 例3 解 解 例4 一 高斯(Gauss)公式 定理 证(1) §6 高斯公式 通量与散度 证(2) 例1 解1 注意 对称性情况 解2 解3 被积函数 积分域 积分元素 曲线积分 z=f(x,y) 平面弧段 L 弧长ds u=f(x,y,z) 空间弧段Γ 弧长ds 曲面积分 u=f(x,y,z) 曲面片S 曲面dS 分割 实例曲线状构件的质量 一 对弧长的曲线积分---第一类曲线积分 近似 第10章 曲线积分与曲面积分 §1 对弧长的曲线积分 求和 极限 精确值 定义 注 性质 定理 小 大 二 对弧长曲线积分的计算 证 解 解 解 例3 o x L3 L1 y 例2 例1 求和 极限 近似 分割 定义 一 对坐标的曲线积分—第二类曲线积分 实例 平面中变力沿曲线作功 §2 对坐标的曲线积分 同样地 组合形式与向量形式 注 性质 二 对坐标曲线积分的计算 定理 起 终 证 思考 解1 解2 解 解 曲线关系可直接代入被积函数 x o y A B y2=x 例1 例2 B O A y=x x y 例3 例4 解 三 两类曲线积分间的转换 D 复连通 有“洞” 单连通 无“洞” D 边界曲线正向 沿正向行前进,区域D总在左侧 一 格林(Green)公式 单连通平面区域 D内任一闭曲线所围部分都 D 定理1 §3 格林公式及其应用 y x o a b D c d A B C E 证(1) 两式相加得 Y X D l1 l2 l3 证(3) D G F C E A B 证(2) 注 解2 解 例1 例2 解1 解 解 例4 例3 L x y C 二 与路径无关的问题 在G内与路径无关 G y x o B A 定理2 证 定义 定理3 充要条件 证 两条件 缺一,结论就可能不成立 注 例5 解 定理4 证 三 的全微分求积 y O x G 注 例6 解 解 例7 小 结 曲面光滑:各点处都有切平面, 且切平面随切点连续转动. X Y Z ∑ 分割,近似,取和,求极限 定义 一 对面积的曲面积分—第一类曲面积分 λ各小块曲面直径最大值 实例 曲面状物体的质量 §4 对面积的曲面积分 性质 二 对面积曲面积分的计算 ----化为二重积分 注 投影 ,代入 ,替换 注 例1 解 解 例2 例3 解 解 例4 例5 解 一 双侧曲面的侧 有向曲面 用曲面法向量的指向表示曲面的侧 有向曲面 决定了侧的曲面 §5 对坐标的曲面积分 二 有向曲面的投影 思考题 场 空间位置的函数 三 场的概念 四 实例 流场中的流量问题 S 近似 分割 ∑ 求和 取极限 五 对坐标的曲面积分—第二类曲面积分 定义 称为R(x,y,z)在有向曲面Σ上对坐标x, y的曲面积分 同 样 地 对y,z坐标 对z,x坐标 组合形式 性质 记作 六 对坐标的曲面积分的计算 注 1)必须注意曲面所取的侧 投影 ,代入 ,定号 注意:对称性情况与第一类曲面积分不同 解 解 例1 例2