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[数学]第26节函数的微分
2.6 函数的微分
一、微分的定义(differential)
1. 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
x 设边长由x x 0 变到 0 +Δ , 2
x ( )Δx
0 Δx
正方形的原面积： 2
A x 0 , x x Δ Δx
0
受热后面积的改变量：
2 2
ΔA (x0 =+Δx ) −x0 A x 2 x 0
0 x Δx
0
2 x ( x ) . x 0 ⋅Δ + Δ 2
(1) (2)
(1)是Δx 的线性函数,为ΔA 的主要部分,叫线性主部。
(2)是Δx 的高阶无穷小,当| Δx |很小时可忽略。
再如, 3
y 设函数x x 在点 0 处的改变量
为 时Δx , 求函数的改变量 Δy .
3 3
y x x( Δx ) 0 +Δ − 0
3 3 ( ) ( ) . 2 2 3
x x x x x ⋅Δ + ⋅ Δ + Δ
0 0
(1) (2 )
(2) 是Δx 的高阶无穷小o( x),Δ
当Δx 很小时,
y xΔ∴≈x 2 ⋅Δ 既容易计算又是较好的近似值
3 .
0
问题: 这个线性主部是否所有函数的改变量
都有? 它是什么? 如何求?
2.微分的定义
设函数 y (f )x 在某区间内有定义, x 0 及
x x 0 +Δ 在这区间内,若成立：
( ) x ( f )x +Δ −f x ( )
Δy 0 0 A =⋅Δx +o Δx
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