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数学补充（场论） 梯度算符 梯 度 等势面 多重积分 直角坐标系 极坐标系 柱坐标系 球坐标系 球坐标系 体元、面元、与立体角元 第一类曲线积分 第二类曲线积分 特例：有心力场 有心力场与第二类曲线积分 第一类曲面积分 第二类曲面积分 电场通量 矢量场的散度 正电荷电场散度 高斯定理 电场的高斯定理 电场的高斯定理 矢量场的旋度 斯托克斯定理 电场的旋度 泰勒(Taylor)展开 用数学的语言，如果一个标量是空间位置的函数，则称为标量场。同样，如果一个矢量是空间位置的函数，则称为矢量场。 1. 矢量场和标量场 如果空间每一点都对应某个物理量的确定值，我们称这空间为这物理量的场。 如果这物理量是标量性质的，则相应的场为标量场。 如果这物理量是矢量性质的，则相应的场为矢量场。 定义算符(operator) 和算符对标量场的作用 当算符作用于标量场时，也记做 此时称为梯度算符。 考虑标量场 从P点经历一无限小位移至P’点，其场量增加为 若定义： 则： 其中， 为从P到P’点无限小位移 又因为 对同样大小的dr，当角度为0时，df最大。即梯度的方向为场量增加最快的方向。顺着梯度方向，场量增加。梯度的大小表示场量的变化率。 等式右边称为f 在此处的全微分 由 可知，梯度的方向和等势面的切线方向垂直，即梯度方向和等势面垂直。 上式中 为沿着等势面的无限小位移。 场中具有同样场量f 大小的曲面，称为等势面。 由等势面的定义，沿着等势面移动dr，场量f 不变。 即 a x 杆的线密度 a b 薄片面密度 二重积分的面积微元（简称面元） 三重积分的体积微元（体元） 当积分函数为 1 时，上式给出积分区域的面积。 当积分函数为 1 时，上式给出积分区域的体积。 r q 面积元为 例如，圆面积 P点位置矢量为 例如：圆柱的体积为 柱坐标系内体积微元为 P点位置矢量为 x y z q j 体元为 P点位置矢量为 直角坐标系 柱坐标系（ρ，φ，z) 球坐标系（r，θ，φ) 柱坐标系 球坐标系 Er Eθ E? r q 体元为 例如，球的体积为 dr 体元 面元 球面积 = 立体角元 全空间立体角 = A B 曲线 L x y 设 f(x,y,z) 为定义在曲线 L 上的函数， 则称 I 为函数 f 对曲线 L 的曲线积分。 其中 ds 为无限小的一小段弧的长度，称为弧长的微元(标量)。L 称为积分路径。 对第一类曲线积分，有 A B 曲线 L x y 注意：1) 曲线有方向! 设空间有一矢量场， 则 I 称为矢量场对曲线 L 的路径积分。 dx dy 2) 以二维为例，设曲线方程为 y=f(x) 封闭曲线? 空间 P 点用从原点指向 P 点的矢量表示 如一个电荷发出的电场，根据库仑定律，它是平方反比，并且是有心力。 电场大小为 有心力，于是方向为 约定此矢量的大小用 r 表示 此矢量的方向以单位矢量 表示， 于是： 引入球坐标系，以相距为 dr 的同心圆分割曲线 A B 曲线 L dr O 对封闭曲线 ? S 设有一空间曲面，曲面上每个点定义有函数 f(x,y,z)，则 称为函数 f() 在曲面 S 上的第一类曲面积分。 第一类曲面积分可以化为二重积分计算。 其中 dS 为曲面上一无穷小面积微元（标量）。 物理对应 ? 流量、通量等 定义有向曲面 S，每个面积微元的方向为对应法向量的方向。 称为矢量场 A 对曲面 S 的第二类曲面积分。 对闭合曲面 S 矢量！ 化为第一类 曲面积分 S的方向为向外 + r q 电场通量与积分的曲面形状无关！ 曲面微元 从P点开始，沿着曲面走，同时保持j不变，使q增加dq 从P点开始，沿着曲面走，同时保持q不变，使j增加dj 矢量场 A 中一空间点 P，包围此点做一封闭曲面微元dS，定义向外为曲面正方向。则矢量场通过 dS 的通量与 dS 包围的体积dV之比定义为 P 处的散度。 S 显式的写出 A， 可以证明： 散度是个标量！ 如定义： 则散度可写为 算符的箭头可省，点不能丢 于是 对吗？ 对放置原点的单位正电荷，忽略公式中常数，有 矢量场 A 内一个任意封闭曲面S，它围成的体积V，有如下关系 对任意一阶可微的矢量场成立。 根据散度定义? dV1 dS1 S’ S的方向为向外 对放置于原点处的电荷q，有 2) 如电荷被一半径为R的球形曲面包围,则 1) 因为电场散度除 r = 0 处外，恒为零，根据高斯定理，可知 ? 当任意曲面不包围原点时，通量为零。 3) 当任意曲面包围原点时，根据高斯定理与散度为零条件，可知积分与曲面形状无关，通量仍然为q/e0。 通过任意闭合曲面 S 的电通量，等于该闭合曲