[信息与通信]12 散度-旋度-梯度.ppt

与场点 源点： 场点： 特例 2.矢量的通量和散度 （1.3节） 2.矢量的通量和散度 3.矢量的环量和旋度（1.5节） 小结： 谈谈梯度、散度和旋度 梯度：描述标量场，自身是矢量 散度：描述矢量场，自身是标量 描述矢量场的分量沿其自身方向的变化 表征场的发散特性 斯托克斯定理（1.6节） 矢量场旋度在以曲线C为周界的曲面的面积分 ＝该矢量沿包围该曲面的封闭曲线的线积分 ——Stokes’s Law 旋度：描述矢量场，自身是矢量 - 描述矢量场的分量沿与其垂直方向的变化 - 表征场的旋转特性 * * 三度、三定理 标量场、梯度 矢量的通量、散度、高斯定理 矢量的环流、旋度、斯托克斯定理 亥姆霍兹定理 ——“三度”、“三定理” 1. 标量场、梯度（1.7节） 标量场在空间的分布和变化规律 ——等值面，方向导数，梯度 标量场可以用一个标量函数表示： 等值面 等值面? 如何了解标量场中某一点的标量函数U沿某一方向的变化情况？ 方向导数：标量函数在给定点沿 某一方向对距离的变化率 方向导数 方向导数 标量的“梯度” ？“爬山” 同样的增量情况下，沿什么方向最陡”？ 方向导数中沿那个方向 标量函数对距离的 变化率最大？ 哈密顿算符： Hamiltonian 引入算子 不同坐标系下 的表示 柱面坐标系中： 直角坐标系中： 球坐标系中： 柱面坐标系： 球坐标系： 不同坐标系下 的表示 柱面坐标系中： 直角坐标系中： 球坐标系中： 例题 已知： 求： 令： 直接法——球坐标系梯度公式！ 例题 距离矢量 ，求标量场 的梯度 r r R 源点 场点 O 例题 距离矢量 ，求标量场 的梯度 是 单位矢量 矢量线（通量线）---线上每一点的切线方向与该点矢量场的方向相同 单位空间内矢量线的个数代表该点场的大小 矢量 沿某一有向曲面 的面积分 矢量场在某一有向曲面的面积分称为通过该面的通量。 通量(Flux) 数学描述： 有向曲面：开表面， 右螺旋 闭合曲面，外法线 通量：穿过曲面s的矢量线的总数 通量的应用 判断闭合曲面内源的性质 无源 负源 正源 散度 定义：单位体积的净流出的通量，称为散度 通量 描述整个体积“流量”的情况， 场中某一点附近的“流量”？ 散度的意义 1.矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数 2.散度代表矢量场的通量源的分布特性 无源(无散) 有源 有洞 直角坐标系中散度表达式 柱面坐标系中： 直角坐标系中： 球坐标系中： 不同坐标系下散度的表示 散度定义 含义：单位体积的净流出通量 那么： 高斯定理 （1.4节） 高斯定理 矢量场散度的体积分 ＝该矢量穿过包围该体积的封闭曲面的总通量 —Gauss’s Law 高斯定理也称为散度定理 例题（答案1200 ) 在由r＝5，z＝0，z＝4围成的圆柱形区域，对 矢量 验证散度定理 例题（答案1200 ) 矢量的环量(流)：矢量沿闭合曲线的标量线积分 矢量 沿闭合路径 的环流＝ 环流的应用 环流是描述场的性质的另外一个重要量 无旋场 有旋场 矢量的 “旋度” 旋度的定义 环量描述的是有向闭合曲线所围的区间环流状态，是一个宏观量，场中某点 的环流状态？ A n0 M 不同坐标系中旋度表示式 直角坐标系 柱、球坐标系旋度 柱坐标系 球坐标系