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[理学]2线性微分方程的稳定性及其应用-刘英波
论文题目:线性微分方程的稳定性及其应用
院 系: 数学科学学院
专 业: 数学与应用数学
姓 名: 刘英波
学 号:
指导教师: 云文在
完成时间: 2006 年6月3日
线性微分方程的稳定性及其应用
刘英波
包头师范学院数学系
摘要:Lyapunov意义下的几种稳定性定义;线性系统的所有解具有相同的稳性;线性系统的稳定性与吸引性等价;线性微分方程的稳定性定理;Lyapunov稳定性定理及其在线性系统稳定性分析中的应用。
关键词:线性微分方程 稳定性
引言
稳定性的概念,最早来源于力学。李雅谱诺夫(Lyapunov)是第一位给出运动稳定性数学定义的人,并提出了解决稳定性问题的方法,从而奠定了现代稳定性理论的基础。
线性系统有着广泛的实际背景,各种实例,俯拾即得;同时,又是非线性系统化的重要源泉。由于线性系统成立迭加原理,从而使解集构成线性空间,并 且通解可以通过Cauchy矩阵来表达,使稳定性理论有许多深刻的结果和特殊的方法。
稳定性、吸引性的定义
考虑线性微分方程组
⑴
记,,为含原点的空间的n维开子集。在中连续,简记为, 分别为的定义域和值域。设方程⑴ 的Cauchy问题的解唯一,记,。
设是⑴的未受扰动的解,是⑴的任意一个被扰动的解,作变换,则⑴式化为
⑵
故⑴式的解对应着⑵式的平凡解。因此只研究⑵式的平凡解的稳定性就够了。
设保证⑴式的解的整体存在的唯一性,对任意的t,当且仅当,时,是⑵式的平凡解。以表示⑵式满足初始值的解,设在上有定义。
定义:若,当时,对一切,有,称方程⑴的解是稳定的;反之,称方程⑵的解是不稳定的,即。
定义:若,当,对一切,有,称方程⑵的解是一致稳定的。
定义:若,当,时,有,即,称方程⑵ 的解是吸引的;若上述的T仅依赖于,不依赖于,即,称方程⑵的解是等度吸引的;若它是等度吸引的,且等度吸引中的不依赖于,不依赖于,即:
。
定义:称方程⑵的解分别是渐近稳定,等度渐近稳定,拟一致渐近稳定的,若:
1)它是稳定的;
2)它分别为吸引、等度吸引、一致吸引的。
定义:称方程⑵的解是一致渐近稳定的,若它是一致稳定的和一致吸引的,且⑵式的所有解是一致有界的(即,当对一切成立)。
例1 试判断线性方程组的稳定性
解 通解为,或,(与无关),当时,就有,故平凡解一致稳定。但
故平凡解不是吸引的,从而不是渐近稳定的。
非齐次与齐次方程组稳定性的关系
考虑n维变系数非齐次线性方程组 ⑶及对应的齐次方程组 ⑷其中,
。若x,y是⑷式的解,则也是⑷式的解;若x,y分别是⑶式的解,则x-y也是⑷式的解。⑷式的n个线性无关的解就构成⑷式的解空间的基。设是⑷式的基解矩阵,则为⑷式的标准基解矩阵,又称为 Cauchy矩阵。
定义:若方程组⑶的所有解具有某种稳定性,则称方程组⑶具有这种稳定性。
定理:,方程组⑶具有某种稳定性,当且仅当⑷式的解具有相同的稳定性。
推论:方程组⑶具有某种稳定性,当且仅当⑶的某一个解具有同一种稳定性。
推论:具有某种稳定性,当且仅当方程组⑶具有同一种稳定性,当且仅当方程组⑷的零解具有同一种稳定性。
例2 线性控制系统的一般形式为
其中为n维向量,为向量输入函数,为输出函数,均为相应维数的连续函数矩阵。我们只研究对应的齐次系统的零解的稳定性。
齐次方程组稳定性的几个等价定理
定理:方程组⑷的平凡解稳定(一致稳定)的充要条件是它的Cauchy矩阵(有界(一致有界)。
定理:方程组⑷的平凡解渐近稳定的充要条件是它的平凡解是吸引的。
证 充分性 若⑷式的平凡解吸引,则,使当使时,,取,便得到Cauchy矩阵的第k列,故有界,从而有界。由定理知⑷式的平凡解稳定,故充分性结论成立。
必要性显然成立。
推论:方程组⑷的平凡解一致渐近稳定等价于平凡解一致吸引,且一致有界。
定理:方程组⑷的平凡解渐近稳定(一致渐近稳定)的充要条件是⑷的Cauchy矩阵。,且一致有界。
证 充分性 因为且一致有界),故存在正常数,使得。
由定理知⑷式的平凡解稳定(一致稳定)知⑷式的平凡解吸引(一致吸引)。
必要性 仿上面定理的证明蕴涵,,且一致有界蕴涵,且一致有界,从而结论成立。
线性微分方程
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