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山西财大2005级线性代数试题答案及评分标准
2005级线性代数试题答案及评分标准
一、填空题(每小题2分,共20分)
-20; 2.; 3.3; 4.21; 5.;
6. 7.3; 8.; 9.3; 10.3.
二、单项选择题(每小题2分,共10分)
1.d 2.c 3.d 4.a 5.B
三、计算题(一)(每小题8分,共32分)
1、解:由题意知, ……………………………………(2分)
又 ……………………………………(4分)
所以 ……………………………(8分)
2、解:由 得 ……………………………(1分)
则 ……………………………(3分)
………………(7分)
所以 ………………(8分)
3、解:(1) 因为,
则, ………………(2分)
即 解得 ………………(4分)
(2) ………………(6分)
令 得矩阵A的全部特征值为1,1,4 ………………(8分)
4、解
………………(5分)
令 ………………(7分)
标准形为 ………………(8分)
四、计算题(二)(每小题10分,共30分)
1、解 …………(3分)
所以当时方程组有解。 …………(4分)
令自由未知量得特解为 …………(6分)
令 得导出组的基础解系为
…(9分)
全部解为(为常数) …………(10分)
2、解:
……(6分)
所以极大无关组为。
………(10分)
3、解:(1)设矩阵A属于特征值0的特征向量为,由于矩阵A属于不同特征值的特征向量正交,所以有,即, ………(2分)
所以A的属于特征值0的特征向量为………(4分)
(2)将单位化得,
将正交单位化得,
…………(8分)
令Q=,得 …………(10分)
五、证明题(每小题4分,共8分)
1、证明:因为向量组的极大无关组可以由的极大无关组
线性表示 …………(2分)
所以() …………(4分)
2、证明:因为,
所以的基础解系有个解向量: …………(2分)
令n阶方阵,则 …………(4分)
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