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轨迹问题2
8.5 轨迹问题
●知识梳理
本节主要内容是轨迹的概念及轨迹方程的求法.求轨迹方程常用的方法:(1)结合解析几何中某种曲线的定义,从定义出发寻找解决问题的方法;(2)利用几何性质,若所求的轨迹与图形的性质相关,往往利用三角形或圆的性质来解问题;(3)如果点P的运动轨迹或所在曲线已知,又点Q与点P之间的坐标可以建立某种关系,则借助点P的轨迹可以得到点Q的轨迹;(4)参数法.
●点击双基
1.动点P到直线x=1的距离与它到点A(4,0)的距离之比为2,则P点的轨迹是
A.中心在原点的椭圆
B.中心在(5,0)的椭圆
C.中心在原点的双曲线
D.中心在(5,0)的双曲线
解析:直接法. 答案:B
2.(2005年春季北京,6)已知双曲线的两个焦点为F1(-,0)、F2(,0),P是此双曲线上的一点,且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=2,则该双曲线的方程是
A.-=1 B.-=1 C.-y2=1 D.x2-=1
解析:设双曲线的方程为-=1.由题意||PF1|-|PF2||=2a,|PF1|2+|PF2|2=(2)2.
又∵|PF1|·|PF2|=2,∴a=2,b=1.故双曲线方程为-y2=1. 答案:C
3.已知A(0,7)、B(0,-7)、C(12,2),以C为一个焦点作过A、B的椭圆,椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是
A. y2-=1(y≤-1) B. y2-=1 C. y2-=-1 D. x2-=1
解析:由题意|AC|=13,|BC|=15,
|AB|=14,又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,
∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2.
故F点的轨迹是以A、B为焦点,实轴长为2的双曲线下支.又c=7,a=1,b2=48,
所以轨迹方程为y2-=1(y≤-1). 答案:A
4 (2005重庆卷)已知,B是圆F:(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为________________。
答案:
5.已知△ABC中,B(1,0)、C(5,0),点A在x轴上方移动,且tanB+tanC=3,则△ABC的重心G的轨迹方程为________________.
解析:设A(x0,y0), ∵tanB+tanC=3,∴-=3,
点A的轨迹方程为y0=-(x02-6x0+5)(x0≠1且x0≠5).若G(x,y)为△ABC的重心,则由重心坐标公式:x=,y=,∴x0=3x-6,且y0=3y.代入A点轨迹方程得G的轨迹方程为y-1=-(x-3)2(x≠且x≠). 答案:y-1=-(x-3)2(x≠且x≠)
●典例剖析
【例1】(2007北京文19)
如图,矩形的两条对角线相交于点,边所在直线的方程为点在边所在直线上.
(I)求边所在直线的方程;
(II)求矩形外接圆的方程;
(III)若动圆过点,且与矩形的外接圆外切,求动圆的圆心的轨迹方程.
解:(I)因为边所在直线的方程为,且与垂直,
所以直线的斜率为. 又因为点在直线上,
所以边所在直线的方程为即.
(II)由解得点的坐标为,
因为矩形两条对角线的交点为.
所以为矩形外接圆的圆心.
又.
从而矩形外接圆的方程为.
(III)因为动圆过点,所以是该圆的半径,又因为动圆与圆外切,
所以, 即.
故点的轨迹是以为焦点,实轴长为的双曲线的左支.
因为实半轴长,半焦距.所以虚半轴长.
从而动圆的圆心的轨迹方程为.
【例2】(江西卷)如图,设抛物线的焦点为F,动点P在直线上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.
(1)求△APB的重心G的轨迹方程.
(2)证明∠PFA=∠PFB.
解:(1)设切点A、B坐标分别为,
∴切线AP的方程为:
切线BP的方程为:
解得P点的坐标为:
所以△APB的重心G的坐标为 ,
所以,由点P在直线l上运动,从而得到重心G的轨迹方程为:
(2)方法1:因为
由于P点在抛物线外,则
∴
同理有
∴∠AFP=∠PFB.
方法2:①当所以P点坐标为,则P点到直线AF的距离为:
即
所以P点到直线BF的距离为:
所以d1=d2,即得∠AFP=∠PFB.
②当时,直线AF的方程:
直线BF的方程:
所以P点到直线AF的距离为:
同理可得到P点到直线BF的距离,因此由d1=d2,可得到∠AFP=∠PFB.
【例3】(辽宁卷)已知椭圆的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足
(Ⅰ)设为点P的横坐标,证明;
(Ⅱ)求点T的轨迹C的方程;
(Ⅲ)试问:在点T的轨迹C上,是
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