2015届高考数学基础知识二轮复习学案：第7章第5节椭圆（一）（人教B版）.docVIP

第五节　椭　圆　(一) 知识梳理 一、椭圆的定义 平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长2a的点的轨迹叫做____________，即点集M＝{P||PF1|＋|PF2|＝2a,2a＞|F1F2|}是椭圆．其中两定点F1，F2叫做___________，定点间的距离叫做____________(注意：2a＝时，点的轨迹为线段F1F2,2a时，无轨迹)．二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上：＋＝1(ab0)；焦点在y轴上：＋＝1(ab0)． 三、椭圆的标准方程、性质标准方程 ＋＝1(ab0) ＋＝1(ab0) 图形 中心 (0,0) (0,0) 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)顶点 (±a,0)，(0，±b) (±b,0)，(0，±a)轴长 长轴|A1A2|的长2a，短轴|B1B2|的长2b，|B2O|＝b，|OF2|＝c，|B2F2|＝a 离心率 e＝(0e1)范围 |x|≤a，|y|≤b |y|≤a，|x|≤b对称性 对称轴方程为x＝0，y＝0；对称中心为O(0,0) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 基础自测 1．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为(　　) A.　　 　　B. C. D. 解析：先将x2＋4y2＝1化为标准方程＋＝1，则a＝1，b＝，c＝＝. 所以离心率e＝＝.故选A. 答案： A 2．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1解析：依题意知，2a＝18，∴a＝9,2c＝×2a，∴c＝3， ∴b2＝a2－c2＝81－9＝72， ∴椭圆方程为＋＝1.故选A. 答案：A 3．(2013·扬州模拟)已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为________．解析：根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6. 答案：6 4．椭圆3x2＋ky2＝3的一个焦点是(0，)，则k＝________. 解析：方程3x2＋ky2＝3可化为x2＋＝1，a2＝1＝b2， c2＝a2－b2＝－1＝2，解得k＝1. 答案：1 1．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E：＋＝1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　) A.＋＝1　 B.＋＝1 C.＋＝1　 D.＋＝1解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2， ①－②得＋＝0， 所以kAB＝＝－＝，又kAB＝＝，＝，又9＝c2＝a2－b2，解得b2＝9，a2＝18，所以椭圆方程为＋＝1，故选D. 答案：D 2．如图所示，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|. (1)当点P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度. 解析： (1)设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(xP，yP)， 由已知得∵点P在圆上，∴x2＋2＝25，即轨迹C的方程为＋＝1. (2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0.∴x1＝，x2＝. ∴线段AB的长度为|AB|＝＝＝ ＝. 1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为______．解析：|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－ 易知点M在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于点P，此时|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值为10＋|MF2|＝10＋＝15. 答案：15 2．(2013·茂名一模)已知椭圆C1：＋＝1(a0，b0)的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为2. (1)求椭圆C1的方程； (2)设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程； (3)设O为坐标原点，取C2上不同于O的点S，以OS为直径作圆与C2相交另外一点R，求该圆面积的最小值时点S的坐标． 解析：(1)由题意可知解得 所以椭圆C1的方程是＋＝1. (2)因为|MP|＝|MF2|，所以动点M到定直线l1：x＝－1的距离等于它到定点F2(1,0)的距离，所以动点