2015届高考数学基础知识二轮复习学案：第7章第6节椭圆（二）（人教B版）.docVIP

第六节　椭　圆　(二) 基础自测 1．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　　) A. B．(1，＋∞) C． (1,2) D. 解析：依题意，2k－1＞2－k＞0，解得1＜k＜2.故选C. 答案：C 2．(2013·湖南郴州模拟)设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是(　　) A．(0,3)　 B. C．(0,3)∪　 D．(0,2)解析：当k4时，c＝，由条件知1，解得k； 当0k4时，c＝，由条件知1，解得0k3，故选C. 答案：C 3．过椭圆C：＋＝1(ab0)的一个顶点作圆x2＋y2＝b2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB＝90°(O为坐标原点)，则椭圆C的离心率为________．解析：∵∠AOB＝90°，∴∠AOF＝45°.∴＝.∴e2＝＝＝1－＝，即e＝. 答案： 4．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是__________．解析：因为直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，所以2，所以m2＋n24. 所以点P(m，n)在椭圆＋＝1内部．所以交点个数为2个． 答案：2 1．(2012·新课标全国卷)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　) A. B. C. D. 解析：设直线x＝与x 轴交于点D，∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则有|F2F1|＝|F2P|， ∴∠PF1F2＝30°. ∴∠PF2D＝60°，∠DPF2＝30°. ∴|F2D|＝|PF2|＝|F1F2|，即－c＝×2c＝c，∴＝2c，即＝.∴椭圆的离心率为e＝.故选C. 答案：C 2．(2013·安徽卷)设椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上． (1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程； (2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上． (1)解析：因为焦距为1，所以2a2－1＝，解得a2＝. 故椭圆E的方程为＋＝1. (2)证明：设P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)， 其中c＝. 由题设知x0≠c，则直线F1P的斜率kF1P＝. 直线F2P的斜率kF2P＝. 故直线F2P的方程为y＝(x－c)． 当x＝0时，y＝，即点Q坐标为. 因此，直线F1Q的斜率为kF1Q＝. 由于F1P⊥F1Q，所以kF1P·kF1Q＝·＝－1. 化简得y＝x－(2a2－1)．将代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限． 解得x0＝a2，y0＝1－a2. 即点P在定直线x＋y＝1上． 1．以O为中心，F1，F2为两个焦点的椭圆上存在一点M，满足||＝2||＝2||，则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C . D. 解析：易知点M在OF2的垂直平分线上，过M作x轴的垂线，交x轴于点N，则点N坐标为，并设||＝2||＝2||＝2t，根据勾股定理可知，||2－||2＝||2－||2，得到c＝t，由|MF1|＋|MF2|＝2a得a＝，则e＝＝.故选C. 答案：C 2．(2013·潮州二模)设椭圆＋＝1(ab0)的左、右顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，离心率e＝.过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且|QP|＝|PC|. (1)求椭圆的方程； (2)求动点C的轨迹E的方程； (3)设直线AC(C点不同于A，B)与直线x＝2交于点R，D为线段RB的中点，试判断直线CD与曲线E的位置关系，并证明你的结论． 解析：(1)由题意，可得a＝2，e＝＝，可得c＝， 所以b2＝a2－c2＝1，因此，椭圆的方程为＋y2＝1. (2)设C(x，y)，P(x0，y0)，由题意得即 又＋y＝1，代入得＋2＝1，即x2＋y2＝4. 即动点C的轨迹E的方程为x2＋y2＝4. (3)设C(m，n)，点R的坐标为(2，t)，因为A、C、R三点共线，所以∥，而＝(m＋2，n)，＝(4，t)，则4n＝t(m＋2)，所以t＝，可得点R的坐标为，点D的坐标为，所以直线CD的斜率为k＝＝，而m2＋n2＝4，所以m2＝4－n2，代入可得k＝＝－，所以直线CD的方程为y－n＝－(x－m)，化简得mx＋ny－4＝0，所以圆心O到直线CD的距离d＝＝＝2＝r，因此，直线CD与圆O相切，即CD与曲线E相切．