经济数学 函数与极限 课件.ppt

函数与极限 二、函数概念 三、函数的特性 四、反函数 五、小结 一、基本初等函数 二、复合函数 初等函数 三、双曲函数与反双曲函数 四、小结 一、概念的引入 二、数列的定义 四、数列极限的性质 五、小结 三、数列的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 二、自变量趋向有限值时函数的极限 三、函数极限的性质 四、小结 一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 四、小结 二、求极限方法举例 三、小结 一、极限存在准则 二、两个重要极限 三、小结 一、无穷小的比较 二、等价无穷小代换 三、小结 一、函数的连续性 二、函数的间断点 三、小结 一、四则运算的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 四、小结 一、最大值和最小值定理 二、介值定理 三、小结 意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式． 例如, 常用等价无穷小: 例２ 解 定理２(等价无穷小代换定理) 证 例３ 解 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限． 不能滥用等价无穷小代换. 切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换. 注意 例４ 解 例５ 解 解 错 例6 解 1、无穷小的比较 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 2、等价无穷小的代换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶. 思考题 任何两个无穷小都可以比较吗？ 思考题解答 不能． 例当 时 都是无穷小量 但 不存在且不为无穷大 故当 时 练 习 题 练习题答案 第九节 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 二、函数的间断点 三、小结 1.函数的增量 2.连续的定义 例1 证 由定义2知 3.单侧连续 定理 例2 解 右连续但不左连续 , 4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 例3 证 思考题 在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？为什么？ 思考题解答 没有极限． 假设 有极限， 有极限， 由极限运算法则可知： 必有极限， 与已知矛盾， 故假设错误． 一、填空题: 练 习 题 二、求下列各极限: 练习题答案 第七节 极限存在准则、两个重要极限 一、极限存在准则 二、两个重要极限 三、小结 1.夹逼准则 证 上两式同时成立, 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 注意: 准则 ?和准则 ?称为夹逼准则. 例1 解 由夹逼定理得 2.单调有界准则 单调增加 单调减少 单调数列 几何解释: 例2 证 (舍去) (1) 例3 解 (2) 定义 类似地, 例4 解 例5 解 1.两个准则 2.两个重要极限 夹逼准则; 单调有界准则 . 思考题 求极限 思考题解答 一、填空题: 练 习 题 二、求下列各极限: 练习题答案 第八节 无穷小的比较 一、无穷小的比较 二、等价无穷小代换 例如, 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 不可比. 观察各极限 定义: 意义 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); 3、无穷小的运算性质: 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 证 注意　无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 特殊情形：正无穷大，负无穷大． 注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; （3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 不是无穷大． 无界， 证 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论. 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意: 无穷小与无穷大是相对于过程而言的. （1） 无穷小（ 大）是变量,