第四章第二节 方差 概率论课件.ppt

作业 第100-101页 习题4-2 4，5，6，7 作业要求 写出求解过程，问答题要说明原因 不用抄书本上的题目，写清序号即可 例6 二项分布的方差 设X~B(n,p), 则X表示n重贝努里试验中的 “成功” 次数 . 若设 i=1,2，…，n 故 D(Xi)= E(Xi2)-[E(Xi)]2 E(Xi)=P(Xi=1)= p, E(Xi2)= p, 则 是n次试验中“成功” 的次数 = p- p2= p(1- p) 于是 i=1,2，…，n D(Xi)= E(Xi2)-[E(Xi)]2 = p- p2= p(1- p) 由于X1,X2,…,Xn相互独立 = np(1- p) 例7 设 求 解 先求标准正态变量 的数学期望和 方差. 因为 的概率密度为 于是 因 即得 例8 设 证明: 当 时, 达到最小值. 证 依题 两边对 求导数, 有 显然当 时, 又因 所以当 时, 达到最小值, 最小值为 这个例子又一次说明了数学期望 是随机变 反映了 的平均值. 取值的集中位置, 量 四、条件数学期望与条件方差简介 由于随机变量之间存在相互联系， 一个随机变量取 值可能会对另一随机变量的分布产生影响， 这种影 响会在数字特征上得到反映. 下面要讨论的是： 在某个随机变量取值的条件下， 另一个与之相关的随机变量的数字特征. 作为 简介， 这里我们直接给出它们的定义. 求 1. 设 是离散型随机向量， 其概率分布为 定义 （绝对收敛） 为在 条件下 的条件数 学期望. 类似地， 称 （绝对收敛） 为在 条件下 的条件数学期望； (1) 称 (2) 称 （绝对收敛） 类似 地， 条件下 的条件方差. 为在 称 （绝对收敛） 条件下 的条件方差. 为在 2. 设 是连续型随机向量， 是在 条件下 的概率密度， 定义 (1) 是在 条件下 的概率密度. 称 （绝对收敛） 为在 条件下 的条件数学期望； (2) 称 （绝对收敛） 条件下 的条件方差： 为在 类似地，称 （绝对收敛） 为在 条件下 的条件方差. 例9 设 求 解 由 知, 在 条件 下 的条件分布仍为正态分布 于是 注: 读者可利用定义直接求出, 结果相同. 小结：这一讲,我们介绍了随机变量的方差. 它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程度的一个数字特征 .通过方差, 可以判断均值相同的随机变量的取值情况. 下面,我们将介绍刻划两r.v.间线性相关程度的两个重要的数字特征： 协方差与相关系数 第四章第二节 方 差 上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的. 例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图： 乙仪器测量结果 甲仪器测量结果 较好 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近 又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图： 甲炮射击结果 乙炮射击结果 乙较好 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . 中心 中心 为此需要引进另一个数字特征, 用它来度量随机变量取值在其中心的程度. 这个数字特征就是我们要介绍的方差。 一、方差的定义 采用平方是为了保证一切 差值[X-E(X)]都起正的作用 设X是一个随机变量, 若E[X-E(X)]2∞, 则称 D(X)=E[X-E(X)]2 (1) 为X的方差. 注: 有的书上也记成Var(X)，本讲二者混用。 方差的算术平方根 称为标准差 由于它与X具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用. 若X的取值比较分散，则方差较大 . 若方差D(X)=0, 则r.v. X 以概率1取常数。 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的偏离程度 .它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性 若X的取值比较集中，则方差较小； D(X)=E[X-E(X)]2 X为离散型， P{X=xk}=pk 由定义知，方差是随机变量X的函数 g(X)=[X-E(X)]2的数学期望 . X为连续型随机变量， f(x)为其密度。 二、计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)-[E(X)]2 展开 证：D(X)=E[X-E(X)]2 =E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X