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第四章第二节 方差 概率论课件
作业 第100-101页 习题4-2 4,5,6,7 作业要求 写出求解过程,问答题要说明原因 不用抄书本上的题目,写清序号即可 例6 二项分布的方差 设X~B(n,p), 则X表示n重贝努里试验中的 “成功” 次数 . 若设 i=1,2,…,n 故 D(Xi)= E(Xi2)-[E(Xi)]2 E(Xi)=P(Xi=1)= p, E(Xi2)= p, 则 是n次试验中“成功” 的次数 = p- p2= p(1- p) 于是 i=1,2,…,n D(Xi)= E(Xi2)-[E(Xi)]2 = p- p2= p(1- p) 由于X1,X2,…,Xn相互独立 = np(1- p) 例7 设 求 解 先求标准正态变量 的数学期望和 方差. 因为 的概率密度为 于是 因 即得 例8 设 证明: 当 时, 达到最小值. 证 依题 两边对 求导数, 有 显然当 时, 又因 所以当 时, 达到最小值, 最小值为 这个例子又一次说明了数学期望 是随机变 反映了 的平均值. 取值的集中位置, 量 四、条件数学期望与条件方差简介 由于随机变量之间存在相互联系, 一个随机变量取 值可能会对另一随机变量的分布产生影响, 这种影 响会在数字特征上得到反映. 下面要讨论的是: 在某个随机变量取值的条件下, 另一个与之相关的随机变量的数字特征. 作为 简介, 这里我们直接给出它们的定义. 求 1. 设 是离散型随机向量, 其概率分布为 定义 (绝对收敛) 为在 条件下 的条件数 学期望. 类似地, 称 (绝对收敛) 为在 条件下 的条件数学期望; (1) 称 (2) 称 (绝对收敛) 类似 地, 条件下 的条件方差. 为在 称 (绝对收敛) 条件下 的条件方差. 为在 2. 设 是连续型随机向量, 是在 条件下 的概率密度, 定义 (1) 是在 条件下 的概率密度. 称 (绝对收敛) 为在 条件下 的条件数学期望; (2) 称 (绝对收敛) 条件下 的条件方差: 为在 类似地,称 (绝对收敛) 为在 条件下 的条件方差. 例9 设 求 解 由 知, 在 条件 下 的条件分布仍为正态分布 于是 注: 读者可利用定义直接求出, 结果相同. 小结:这一讲,我们介绍了随机变量的方差. 它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程度的一个数字特征 .通过方差, 可以判断均值相同的随机变量的取值情况. 下面,我们将介绍刻划两r.v.间线性相关程度的两个重要的数字特征: 协方差与相关系数 第四章第二节 方 差 上一讲我们介绍了随机变量的数学期望,它体现了随机变量取值的平均水平,是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合,仅仅知道平均值是不够的. 例如,某零件的真实长度为a,现用甲、乙两台仪器各测量10次,将测量结果X用坐标上的点表示如图: 乙仪器测量结果 甲仪器测量结果 较好 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近 又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹,其落点距目标的位置如图: 甲炮射击结果 乙炮射击结果 乙较好 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . 中心 中心 为此需要引进另一个数字特征, 用它来度量随机变量取值在其中心的程度. 这个数字特征就是我们要介绍的方差。 一、方差的定义 采用平方是为了保证一切 差值[X-E(X)]都起正的作用 设X是一个随机变量, 若E[X-E(X)]2∞, 则称 D(X)=E[X-E(X)]2 (1) 为X的方差. 注: 有的书上也记成Var(X),本讲二者混用。 方差的算术平方根 称为标准差 由于它与X具有相同的度量单位,在实际问题中经常使用. 若X的取值比较分散,则方差较大 . 若方差D(X)=0, 则r.v. X 以概率1取常数。 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的偏离程度 .它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性 若X的取值比较集中,则方差较小; D(X)=E[X-E(X)]2 X为离散型, P{X=xk}=pk 由定义知,方差是随机变量X的函数 g(X)=[X-E(X)]2的数学期望 . X为连续型随机变量, f(x)为其密度。 二、计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)-[E(X)]2 展开 证:D(X)=E[X-E(X)]2 =E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X
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