第四章第一节 数学期望 概率论课件.ppt

作业 第92-95页 4, 5, 9, 11 作业要求 写出求解过程，问答题要说明原因 不用抄书本上的题目，写清序号即可 根据随机变量函数数学期望的计算公式, 有 设国际市场上对我国某种出口商品每年的需求量是随机变量X(单位: 吨).X服从区间[2000,4000]上的均匀分布.每销售出一吨商品,可为国家赚取外汇3万元; 若销售不出,则每吨商品需贮存费1万元.求:应组织多少货源,才能使国家收益最大? 例 7. 设组织货源t吨. 显然，应要求 2000 ≤ t ≤ 4000. 国家收益Y(单位:万元)是X的函数Y=g(X). 表达式为 解 由已知条件, 知X的概率密度函为 可算得当 t=3500 时, E(Y)=-2t2 + 14000t-8000000 达到最大。因此，应组织3500吨货源. 说明： 前面我们给出了求g(X)的期望的方法。实际上，该结论可轻易地推广到两个随机变量函数Z=g(X,Y)的情形。 设二维离散型随机向量(X,Y)的分布律为 pij, i=1,2, ? ; j=1,2, ? .则: 设二维连续型随机向量(X,Y)的密度函数为f(x,y),则: 注意上述公式的适用条件 设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布如下表所示,求:Z=X2+Y的期望. E(Z)=g(1,1)?0.125+g(1,2)?0.25 +g(2,1)?0.5+g(2,2)?0.125 解: 例8 =4.25 设随机变量X和Y相互独立,概率密度函数分别为 求:E(XY) 解: ∵ G(X,Y)=XY, X和Y相互独立. 例9 四、数学期望的性质 1. 设C是常数，则E(C)=C; 4. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X); 3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2); （诸Xi独立时） 注意:由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y独立 五、数学期望性质的应用 例10 求二项分布的数学期望 若 X~B(n,p)， 则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数. 现在我们来求X的数学期望 . 可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np. X~B(n,p), 若设 则 X= X1+X2+…+Xn = np i=1,2，…，n 因为 P{Xi =1}= p, P{Xi =0}= 1-p 所以 E(X)= 则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数. E(Xi)= = p 例11 将n个球放入M个盒子中,设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数X的期望. 解: 引入随机变量: 则X=X1+X2+…+XM ,于是 E(X)=E(X1)+E(X2)+ …+E(XM). 每个随机变量Xi都服从两点分布,i=1,2,…,M. ∵每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M, ∴对第i个盒子,一个球不落入这个盒子内的概 率为(1-1/M). 故n个球都不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)n ,即: 例12 设甲、乙两人玩必分胜负的赌博游戏，假定游戏的规则不公正，以致两人获胜的概率不等，甲为p,乙为q，pq,p+q=1.为了补偿乙的不利地位，另行规定两人下的赌注不相等，甲为 a, 乙为b, ab. 现在的问题是：a究竟应比b大多少，才能做到公正？ 解：设甲赢的钱数为X，乙赢的钱数为Y， 依题意 解：设甲赢的钱数为X，乙赢的钱数为Y， 为对双方公正,应有 依题意 E(X)=bp+(-a)q, E(Y)=aq+(-b)p bp-aq=aq-bp=0, 故 小结： 这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征. 接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征——方差。 第四章第一节 数学期望 前面讨论了随机变量及其分布. 如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了. 在实际问题中，概率分布是较难确定的. 且有时在实际应用中，我们并不需要知道随机变量的所有性质，只要知道它的某些数字特征就够了. 更重要的是一些分布可以由它的某些数字特征完全刻画. 因此，在对随机变量的研究中，确定随机变量的某些数字特征是非常重要的. 期望和方差 最常用的数字特征是： 一、离散型随机变量的数学期望 概念的引入： 某车间