矩阵的转置乘法（初等变换）.ppt

矩阵的转置、乘法（初等变换）、逆 欧阳顺湘 北京师范大学珠海分校 2005.4.3 内容提要 矩阵的下列运算的性质与应用 乘法 转置 初等变换 逆 初等矩阵 初等变换 Recall 练习 Inverse Matrix 一、概念的引入 二、逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充要条件与逆矩阵的求法 三、逆矩阵的求法 另一种常用的求矩阵逆的方法 伴随矩阵的方法理论上完善，但计算量大 下面用矩阵的初等（行）变换来求 先讲方法，后介绍其中的道理（也可课后思考） 逆矩阵的求法 若矩阵A可逆，则矩阵A总可以经过一系列初等行变换化为单位矩阵。 如果把同样的变换施加在单位矩阵上，得到的就是A的逆矩阵。 因此，我们通常把矩阵A与单位矩阵I并列，构成一个n×2n矩阵，记作[A E]，再经过初等行变换化为[E A-1]，这样就得到了A-1。 利用矩阵求解方程 反 思 理论分析 二、初等矩阵的应用 例1. ┌ 3 -1 ┐ 设A＝│ │，求A-1 └ 2 -1 ┘ 解： ┌ 3 -1 1 0 ┐①+(-1)×② ┌ 1 0 1 -1 ┐②+(-2)×① │ │ ─→ │ │ ─→ └ 2 -1 0 1 ┘ └ 2 -1 0 1 ┘ ┌ 1 0 1 -1 ┐②×(-1)┌ 1 0 1 -1 ┐ │ │─→│ │─→ └ 0 -1 -2 3 ┘ └ 0 1 2 -3 ┘ 1 -1 则A-1＝ 2 -3 这表明A不是满秩矩阵，则A不可逆，A-1不存在，因为[AI]的左边不能化为单位矩阵。 所以，如果在阶梯化的过程中出现了0行，则表示矩阵不可逆。 二、解矩阵方程 解矩阵方程AX＝B，即求矩阵X满足此等式。 如果矩阵A可逆,把等式两边左乘A-1，即得A-1AX＝A-1B，于是X＝A-1B 因此，先求出A-1，再做矩阵的乘法即可。 例4. 解矩阵方程AX＝B，其中 -2 1 0 5 -1 A＝ 1 -2 1 ，B＝ -2 3 0 1 -2 1 4 解： ┌ -2 1 0 1 0 0 ┐ │ 1 -2 1 0 1 0 │─→ └ 0 1 -2 0 0 1 ┘ ┌ 1 -2 1 0 1 0 ┐ │ 0 1 -2 0 0 1 │─→ └ 0 0 -4 1 2 3 ┘ ┌ 1 0 0 -3/4 -1/2 -1/4 ┐ │ 0 1 0 -1/2 -1 -1/2 │ └ 0 0 1 -1/4 -1/2 -3/4 ┘ 3 2 1 A-1＝-1/4 2 4 2 1 2 3 3 2 1 5 -1 ∴ X＝A-1B＝-1/4 2 4 2 -2 3 1 2 3 1 4 12 7 ＝－1/4 4 18 4 17 练习 2 个 Page 174. 5 请用三种方法 先求系数矩阵的逆矩阵, 用伴随矩阵的方法求逆矩阵 也先求系数矩阵的逆矩阵, 但用矩阵的初等变换的方法求逆矩阵 用Gauss消元法，请用矩阵的方式表示肖元过程 利用初等变换求逆阵的方法： 即 初等行变换 例２ 解 列变换 列变换 解 例3 定义 对于 阶矩阵 ，如果存在 阶矩阵 则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的一个 逆矩阵. 使得 例 设 说明 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的. 事实上若设 和 是 的逆矩阵， 则有 可得