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2006年度中国数学奥林匹克国家集训队试题
国家集训队考试试题解答（一）
2006 年 3 月 19 日 8 ：30—12 ：30， 沈阳
1．设ABCD 是一个梯形并且AB // CD ，ABCD 内部有两个圆w 和 w 满足 w 与三边DA 、
1 2 1
AB 、BC 相切，圆w 与三边 BC 、CD、DA 相切. 令l 是过点A 的异于直线AD 的圆w 的另
2 1 2
一条切线，l 是过点 C 的异于直线 CB 的圆w 的另一条切线. 证明：l // l .
2 1 1 2
l l
解：不失一般性，设AB CD . 令射线 DA 和射线 CB 相交于点X ， 与DC ，
1 2
与AB 分别相交于点 F ，E 。 w1 与三边AB 、DA 、BC 分别相切于点 N ，P ，Q；w2
与三边 CD、AD 、BC 分别相切于点 M ，R 和 S 。（如下图）
由切线的性质可得
− + − + − + +
CE AE CK KE AE CQ EN AE CQ AN CQ AP
CQ +QX +AP −QX CX +AP −XP
CX −XA
− + − + − + +
AF CF AL LF CF AR FM CF AR MC AR SC
AR +SC +SX −SX AR +CX −SX AR +CX −RX
CX −XA
从而
CE −AE AF −CF 或者 CE −AF AE −CF .
在直线AB 上取一点E 使得E AFC 是平行四边形。则AE CF ，AF CE 。因
1 1 1 1
此
AE −AE AE −CF CE −AF CE −CE
1 1
即， EE | CE −CE | . 由三角不等式知 E E ，从而 l // l 。
1 1 1 1 2
2 ．求所有的正整数对(a, n) 使得
(a +1)n −a n
n
是整数.
解：若 a 为任意正整数，则(a,1) 显然是原问题的解，下面我们证明原问题没有其
他解。
假设(a, n) n ≥2 是原问题的一个解，则存在某正整数 k ，使得
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