2011广州高二数学竞赛题和答案评分标准.doc

2011年广州市高二数学竞赛试题 参考答案一、选择题1． 2． 3． 4．二、填空题 6． 7． 8． 9． 10． 简答与提示： 4．因为， 所以，， ， 又因为，所以，选（B）． 三、解答题解 … ． 当，即（）时， 有最大值为． （2），．可得： ，，，解得． ，可得． ， ， ． 12．（1）证明：取CD的中点G，连AG，FG， 则有．BF．． ． （3）解：由（1）知， 延长DA，EB交于点P，连PC， 则可证得A，B分别为PD，PE的中点， ∴PC∥BF∥AG， ∴PC⊥平面CDE． ∴∠DCE为平面BCE和平面ACD所成二面角的平面角． 又∠DCE＝45°， 所以平面BCE和平面ACD所成的锐二面角为45°． 13．解：1）由题意得，得． 结合，解得，． 所以，椭圆的方程为． （2）由 得． 设， 所以， 进而． 因为点、的坐标分别为、， 依题意， 所以，即． 即，即， 因为，所以 ． 将其整理为． 因为，所以，． 所以，即． 14．解：设无穷等差数列的公差为， 则， 所以， 且 ． 因为对于一切正整数都成立， 所以 由①，可得或． 当时，由④得，或，且同时满足②③． 当时，由②得，且同时满足③④． 当时，由②得，且同时满足③④． 综上所述，共有5个满足条件的无穷等差数列： ①：； ②：； ③：； ④：； ⑤：． 15．解：（1）∵函数是奇函数， ∴， 即， 化简得对于任意xR都成立． ∴．∴． 若，的定义域不可能是R， 故． 当时，；时，， 当且仅当即 时，取得最大值． ，．……①， ……② 又∵曲线在处切线方程为 ， 切线与y轴交于点， ∴，化简得， ①②代入化简得． 又∵， 令，解得，列表如下 — 0 ＋ 0 － ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 、 当时，． ∴时，函数取得唯一的极大值，也是最大值． ．、 当时， ∴时，函数取得唯一的极小值，也是最小值． ． ∴的取值范围是． 2011年广州市高二数学竞赛答案 第 1 页 共 6 页 P E F A B C D G