76解非线性方程组的牛顿迭代法.ppt

7.4 牛顿法 7.4.2 牛顿法应用举例 7.4.3 简化牛顿法与牛顿下山法 （2） 牛顿下山法. 7.4.4 重根情形 7.5 弦截法与抛物线法 7.5.2 抛物线法 7.6 解非线性方程组的牛顿迭代法 7.4.1 牛顿法及其收敛性 牛顿法是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方 程 逐步归结为某种线性方程来求解. 设已知方程 有近似根 （假定 )， 将函数 在点 展开，有 于是方程 可近似地表示为 （4.1） 这是个线性方程，记其根为 ，则 的计算公式为 （4.2） 这就是牛顿(Newton)法. 牛顿法的几何解释. 方程 的根 可解释为曲线 与 轴 的交点的横坐标（图7-3). 设 是根 的某个近似值， 过曲线 上横坐标为 的点 引切线，并将该切线与 轴的交点的横坐标 作为 的新的近似值. 图7-3 注意到切线方程为 这样求得的值 必满足(4.1），从而就是牛顿公式（4.2） 的计算结果. 由于这种几何背景，牛顿法亦称切线法. 牛顿法（4.2）的收敛性，可直接由定理4得到，对（4.2） 其迭代函数为 由于 假定 是 的一个单根，即 ， 则由上式知 ，于是依据定理4可以断定，牛顿法 在根 的邻近是平方收敛的. 又因 故由（2.9）可得 （4.3） 例7 用牛顿法解方程 （4.4） 解 这里牛顿公式为 取迭代初值 ，迭代结果列于表7-5中. 所给方程（4.4）实际上是 方程 的等价形式. 若用 不动点迭代到同一精度要迭代 17次，可见牛顿法的收敛速度 是很快的. 牛顿法的计算步骤： 步骤1 准备 选定初始近似值 ，计算 步骤2 迭代 按公式 迭代一次，得新的近似值 ，计算 步骤3 控制 如果 满足 或 ，则终 止迭代，以 作为所求的根；否则转步骤4. 此处 是 允许误差，而 其中 是取绝对误差或相对误差的控制常数，一般可取 . 步骤4 修改 如果迭代次数达到预先指定的次数 ， 或者 ，则方法失败；否则以 代替 转步骤2继续迭代. 对于给定的正数 ，应用牛顿法解二次方程 可导出求开方值 的计算程序 （4.5） 这种迭代公式对于任意初值 都是收敛的. 事实上，对（4.5）式施行配方手续，易知 以上两式相除得 据此反复递推有 （4.6） 记 整理（4.6）式，得 对任意 ，总有 ，故由上式推知，当 时 ，即迭代过程恒收敛. 解 取初值 ，对 按（4.5）式迭代3次 便得到精度为 的结果 （见表7-6). 由于公式（4.5）对任意 初值 均收敛，并且收 敛的速度很快，因此可取确定 的初值如 编成通用程序. 例8 求 . 牛顿法的优点是收敛快，缺点一是每步迭代要计算 及 ，计算量较大且有时 计算较困难， 二是初始近似 只在根 附近才能保证收敛，如 给 的不合适可能不收敛. 为克服这两个缺点，通常可用下述方法. （1） 简化牛顿法，也称平行弦法. 其迭代公式为 （4.7） 迭代函数 若在根 附近成立 ，即取 ，则迭代法（4.7）局部收敛. 在（4.7）中取 ，则称为简化牛顿法，这 类方法计算量省，但只有线性收敛，其几何意义是用平行 弦与 轴交点作为 的近似. 如图7-4所示. 图7-4 牛顿法收敛性依赖初值 的选取. 如果 偏离所求根 较远，则牛顿法可能发散. 例如，用牛顿法求方程 （4.8） 在