4．位移梯度在界面上的跳跃-中国力学学会.doc

Eshelby问题中棱上各点位移梯度的跳跃 赵宝生 辽宁科技大学机械工程与自动化学院，辽宁鞍山，114051 高阳 中国农业大学理学院，北京，100083 E_mail：zhaobaos@pku.org.cn 传真：(0412)5929777 电话：(0412)5929785(O) (0412)5210669(H) 摘要：本文利用调和函数的积分方法，来研究各向同性材料Eshelby问题中，棱上各点位移梯度的跳跃，最终获得棱上各点应力张量的跳跃值。首先讨论Eshelby位移场的连续性，并根据多重积分的性质，将棱上各点位移梯度场的连续部分和跳跃部分分离开；对跳跃部分进行讨论，获得位移梯度场，再由各向同性的Green函数获得位移梯度场和应力场在核与基体间跳跃的显式表示。最后对应力场的跳跃张量进行讨论。 关键词：Eshelby问题，位移梯度，Green函数，本征应变，各向同性 1．引言 Eshelby（1957，1959，1961）[1][2][3]曾经提出同种介质含有一个带有本征应变核的问题，也就是我们常说的Eshelby问题。对于这类问题，由于本征应变的存在，使得很多物理量在核与基体的边界上有跳跃，对于完全连接问题，边界上的位移是连续的，但是根据Green函数的性质，可以知道位移的梯度在界面上是有跳跃的。Hill[4]（1961）指出当界面是光滑的时候，位移梯度在界面上的跳跃与界面的法向方向一致。Mura（1987）在其专著[5]中利用边界上应力连续的条件，得出了位移梯度在界面上跳跃值的大小。不过，得到这个结论的先决条件是应力在边界上必须连续。2003年，赵宝生和王敏中[6]从位移场的公式出发，直接求出界面光滑时，位移梯度在界面上跳跃值的大小，并利用位移梯度在界面上跳跃值来证明应力在界面上的连续性。 当界面不光滑有棱时，取得的小微元将不能近似看成是一个圆盘，所以光滑界面上位移梯度的结果将不能直接应用。本文将积分方法应用到不光滑的界面的研究当中，从位移的Green函数出发，对位移梯度不连续的部分进行研究，获得。 ，其外区域记为，在基体与核间的棱上取定研究点，其矢径为。为考虑点两侧物理量跳跃与否，例如位移向量跳跃与否，我们定义 （1） 其中和分别表示从区域的外部和内部，且沿点处的法向趋于时的位移的极限，即 如果(1)式为零，则位移向量在点连续，否则就有跳跃。 根据Eshelby和Mura，我们知道Eshelby问题在全空间的位移场是： （2） 其中：是Green函数，为基体的弹性常数，是核中的本征应变。 将（2）式中的位移表达式代入(1)，得 （3） 根据Green函数的性质可以知道，中只含有的一阶奇点，于是（2）式中三重积分的被积函数具有二阶奇性。我们知道，如果奇性的阶数小于积分的重数，则此积分关于参变量是连续的[7]。因此（2）式关于参变量是连续的，所以位移向量在界面上是连续的，没有跳跃，那么(3)成为 （4） 3．连续部分与跳跃部分分离 对（2）取微商，可以得到位移梯度为： （5） 从上式可知被积函数具有三阶奇性，位移梯度在界面两侧将产生跳跃。（5）改写成： （6） 对（6）式右边第二个体积分，利用Gauss公式得： （7） 图一 为求出跳跃值，我们可以画一个以点为球心，为半径的球，当很小时，可以将界面在球内被截得的部分近似看成两个以为圆心，半径为，平的半圆盘,记为和，它们的外法线方向分别为和，与无关，如图一所示。对（7）式右边的面积分的积分区域进行分拆。所以有： （8） 式（8）右边第一项的三重积分中虽然包括一个三阶奇点因子，但有另一个因子，当时，也趋于零，所以三重积分后在边界没有跳跃。第二项的面积分中不含有奇点，积分后在边界上也不会出现跳跃。我们设： （） （9） 注意：本文中所有的代表1和2，不参与约定求和。 由（8）和（9）式可知： （10） 这里记号与（1）所定义的相似，代表界面两侧函数值的差，外部的值减去内部的值。 4．位移梯度在界面上的跳跃 对于各向同性材料其Green函数为： （11） 其中，和为Lamé常数，为Poisson比， ，求微商后带入（9）中得： （12） 这里，。可以认为是点A的“本征应力”。 我们将（12）分解成： （13） 其中