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第14章 结构动力计算绪论 §14-1 多自由度体系的自由振动 1. 刚度法 2 柔度法 §14-3 多自由度体系的强迫振动 1 n个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 2 多自由度体系在一般荷载下的强迫振动 §14-4 无限自由度体系的自由振动 14-5 无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法 §14-6 近似法求自振频率 1 能量法求第一频率——瑞利（Rayleigh）法 2.能量法求最初几个频率——瑞利-里兹（Rayleigh-Ritz）法 3 集中质量法 §14-7 矩阵位移法求刚架的自振频率 1 单元的泛函 2 刚架的泛函 3 驻值条件和频率方程 §14-8 用求解器求解自振频率与振型 §14-9 小结 若梁上还有集中质量mi，计算公式为 如果Y（x）是第i振型，则得到的就是第i频率的精确解 ■取某个静荷载下的位移曲线作为Y（x）。 这时，应变能可用荷载作的功来代替，即 频率计算公式为： ■取结构自重的变形曲线作为Y（x）。 例 14-7 试求等截面简支梁的第一频率 解 （1）将抛物线作为Y（x）。 （2）将均布荷载作用下的位移曲线作为Y（x）。 （3）将正弦曲线作为Y（x）。 （4）讨论。 正弦曲线是第一主振型的精确解，因此由它求得的是第一频率的精确解。根据均布荷载作用下的挠度曲线求得的结果具有很高的精度。 例 14-8 试求图14-15所示楔形悬臂梁的自振频率。设梁的截面宽度b=1，截面高度为直线变化： 解 单位长度质量 截面惯性矩 设位移形状函数为 代入频率计算公式，得 精确解为 误差为3% 理论基础：哈密顿（W.R.Hamilton)原理 在所有可能的运动状态中,精确解使 驻值 得哈密顿泛函 驻值 Y(x)是满足边界条件的任意可能位移函数 瑞利-里兹（Rayleigh-Ritz）法的具体步骤: (1)将体系的自由度折减为n个自由度,位移函数表示为 :n个可能的位移函数; a:待定系数。 （2）将位移函数代入哈密顿泛函，得 令 得 应用驻值条件 得 写成矩阵形式 令系数行列式为零，即 可求得最初几个自振频率的近似值。 例 14-9 试求等截面悬臂梁的最初几个频率。 设可能位移为 解 其中 （1）第一次近似 得 驻值条件为 令 得 （2）第二次近似解 得 令 则，第一、二频率的近似值 (误差为0.48%） (误差为58%） 这里第一频率的精度已大为提高。 例 14-10 试用集中质量法去等截面简支梁的自振频率。 解 例 14-11 试求框架的最低频率。 解 读者可自行验证，对称振型的频率大于反对称振型的频率 将刚架分成有限个单元，任一单元的哈密顿泛函为 刚架的泛函 根据刚架泛函为驻值的条件，求Δ的非零解，得到刚架频率 可用单元的结点位移Δ表示 单元的结点位移幅值为 杆件的位移幅值函数可表示为 形状函数列阵 其中 ——单元的刚度矩阵 ——单元的质量矩阵 对单元泛函叠加，得 将EP改用刚架的结点位移幅值Δ来表示。 振动方程 将位移向量按振型分解 代入振动方程，并前乘YT 令F(t)= YTFP（t）——广义荷载向量 振动方程变为 分别为质点的几何坐标和正则坐标(组合系数) 由于M*、K*都是对角阵，方程已经解偶，即 同理，令 则 振型分解法 由杜哈梅积分，得 初始条件为 代入初始条件，得 例 14-4 已知结构的频率和振型，试求图示结构在突加荷载FP1作用下的位移和弯矩。 解 （1） 主振型矩阵 （2）建立坐标变化关系 （3）求广义质量 （4）求广义荷载 （5）求正则坐标 （6）求质点位移 质点1的位移时程曲线 实线： 虚线： （7）求弯矩 振动过程中质点所受的荷载与惯性力之和为 截面1的弯矩为 截面1弯矩时程曲线 实线： 虚线： 只考虑第一振型 （8）讨论 ■由于第一和第二主振型分量并不是同时达到最大值，因此不能简单地把两分量的最大值相加。 ■第二主振型分量的影响比第一主振型分量的影响要小的多。 ■阶次愈高的振型分量的影响愈小，通常可以计算前2~3个低阶振型的影响，就可以得到满意的结果。 ■按无限自由度体系计算可以了解近似计算方法的应用范围和精确程度。 ■将无限自由度体系简化为有限自由度体系进行计算，是不完整的。 ■对某种类型的结构，直接按无限自由度体系计算也有方便之处。 ■ 在无限自由度体系的动力计算中，时间和位置坐标都是独立变量。振动方程是偏微分方程。 等截面梁弯曲时的静力平衡方程为 在自由振动时，唯一的荷载就是惯性力，即 因此，等截面梁弯曲时的自由振动方程为 用分离变量法求解，令 代入振动方程，并整理得 左边是x的函数，右边是t的