线性代数精品教学（中南大学）3.3线性方程组的解.pptVIP

第三节 线性方程组的解 一、齐次线性方程组解的性质 二、基础解系及其求法 三、非齐次线性方程组解的性质 四、小结 思考题 思考题解答 * 第三章 二、基础解系及其求法 四、小结 一、齐次线性方程组的性质 三、非齐次线性方程组的性质 １．解向量的概念 设有齐次线性方程组 （1） 则上述方程组（1）可写成矩阵方程 若 为方程 的 解，则 称为方程组(1) 的解向量. 若记 ２．齐次线性方程组解的性质 （1）若 为 的解，则 也是 的解. 证明 　　（2）若 为 的解， 为实数，则 　　　 也是 的解． 证明 　　由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 的解空间． １．基础解系的定义 ２．线性方程组基础解系的求法 于是 可化为 　　设齐次线性方程组的系数矩阵为 ， 并不妨设 的前 个列向量线性无关． 现对 取下列 组数： 依次得 从而求得原方程组的 个解： 　　下面证明 是齐次线性方程组解空 间的一个基． 由于 个 维向量 线性无关， 所以 个 维向量 亦线性无关. 由于 是 的解 故 也是 的 解. 所以 是齐次线性方程组解空间的一个基. 说明 １．解空间的基不是唯一的． ２．解空间的基又称为方程组的基础解系． 　　３．若 是 的基础解系，则 其通解为 定理 例1 求齐次线性方程组的基础解系和通解 解 对系数矩阵施 行初等行变换 即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量. 所以原方程组的一个基础解系为 故原方程组的通解为 例2 证 证明 １．非齐次线性方程组解的性质 证明 　　其中 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特 解. ２．非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组Ax=b的通解为 ３．与方程组 有解等价的命题: 线性方程组 有解 ４．线性方程组的解法 （1）应用克莱姆法则 （2）利用初等变换 　　特点：只适用于方程组中方程的个数与未知量 的个数相同且系数行列式不等于零的情形，计算量 大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明 很多命题． 　　特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有 无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数 表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效 的计算方法． 解 例3 求下述方程组的解 令 先求对应的齐次线性方程组的基础解系： 且原方程组等价于方程组 故得对应的齐次线性方程组的基础解系 依次得 故所求通解为 再求非齐次线性方程组的一个特解： １．齐次线性方程组基础解系的求法 ( ) ( ) n B R A R = = ( ) ( ) n B R A R = ２． 线性方程组解的情况