线性代数精品教学（中南大学）3.1 n维向量.pptVIP

第一节 n 维向量 一、向量、向量组 二、线性相关性 三、最大线性无关向量组 四、向量组的秩 四、小结 * 第三章 二、线性相关性 四、向量组的秩 一、向量、向量组 三、最大线性无关组 五、小结 定义 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为实数的向量称为实向量， 　　 维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵， 通常用　　 等表示，如： 　　 维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用　　 等表示，如： 规定行向量和列向量都 按照矩阵的运算规则进行运算. 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． 例如 向量组 , , …， 　称为矩阵A的行向量组． 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵. 线性方程组的向量表示 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应． 定义１ 线性组合 　　　　　　　　　　　　　　　　 向量 能 由向量组 线性表示． 定理1 定义２ 向量组 能由向量组 线性表示 向量组等价． 向量组之间的等价关系具有下述性质： （2）对称性 （1）反身性 （3）传递性 注意 定义３ 则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关． 定理　向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示． 证明 充分性 设 中有一个向量（不妨设 ）能由其余向量线性表示， 则有 故 因 这 个数不全为0， 故 线性相关. 必要性 设 线性相关， 则有不全为0的数　　　　　　使 因 中至少有一个不为0， 不妨设　　　 则有 即 能由其余向量线性表示. 定理2 下面举例说明定理的应用. 解 例１ 解 例２ 分析 证 定理3 证明 说明 定理3 证明 定理3 证明 说明 定理3 证明 定义１ 最大线性无关向量组 最大 无关组 说明 定理１ 结论 说明 事实上 定理２