线性代数精品教学（中南大学）3.2 向量空间.pptVIP

第二节 n 维向量空间 一、向量空间的概念 二、向量空间的基与维数 三、向量的内积 四、正交向量组的概念及求法 五、小结 思考题 例４ 解 * 第三章 二、向量空间的基与维数 一、向量空间的概念 三、向量的内积 四、正交向量组的概念及其求法 五、小结 说明 2． 维实向量的全体构成的集合是一个向量 空间,记作 . 定义1　设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间． 1．集合 对于加法及数乘两种运算封闭指 例2 判别下列集合是否为向量空间. 解 例3 判别下列集合是否为向量空间. 解 试判断集合是否为向量空间. 一般地， 记为 定义2 设有向量空间 及 ，若向量空间　　　， 就说 是 的子空间． 例 那末，向量组 就称为空间　的一个 基， 称为向量空间 的维数，并称 为 维向量 空间． 定义3 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足 （2）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基． 说明 （3）若向量组 是向量空间 的一 个基，则 可表示为 （1）若把向量空间 看作向量组，那末 的基 就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的 秩. 定义4 定义1 说明 内积的运算性质 定义2 令 长度 范数 向量的长度具有下述性质： 定理 称为柯西-施瓦茨不等式. 解 单位向量 夹角 １ 正交的概念 ２ 正交向量组的概念 正交 　　若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组． 证明 ３ 正交向量组的性质 例1 已知三维向量空间中两个向量 正交，试求 使 构成三维空间的一个正交 基. ４ 向量空间的正交基 即 解之得 由上可知 构成三维空间的一个正交基. 则有 解 ５ 标准正交基 例如 同理可知 （1）正交化: ６ 求标准正交基的方法 （2）单位化，取 例２ 用施密特正交化方法，将向量组 标准正交化. 解 先正交化， 取 施密特正交化过程 再单位化， 得标准正交向量组如下