线性代数精品教学（中南大学）2.5 线性方程组有解的判定定理.pptVIP

第五节 线性方程组的有解判别 一、线性方程组有解的判定条件 二、线性方程组的解法 三、小结 思考题 思考题解答 * 第二章 二、 线性方程组的解法 一、 线性方程组有解的判定 三、 小结 引例 求解线性方程组 分析：用消元法求解 解 用“回代”的方法求出解 于是解得 消元法解线性方程组 始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换： （1）交换两个方程的位置； （2）用非零常数乘某个方程； （3）一个方程的k倍加到另一个方程上． 　　在上述变换过程中，未知量并未参与运算，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算． 显然上述三种变换都是可逆的． 　　由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换． 线性方程组 线性方程组的系数矩阵 线性方程组的增广矩阵 对方程组的变换完全可以转换为对增广矩阵B的初等行变换． 问题： 证 必要性（反证法）： ( ) , , n D n A n A R 阶非零子式 中应有一个 则在 设 = (根据克拉默法则) 个方程只有零解 所对应的 n D n 这与原方程组有非零解相矛盾， ( ) . n A R 即 充分性： ( ) , n r A R = 设 . 个自由未知量 从而知其有 r n - 任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０， 即可得方程组的一个非零解 . 证 必要性： , 有解 设方程组 b Ax = ( ) ( ) , B R A R 设 则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程０＝１， 这与方程组有解相矛盾 . ( ) ( ) . B R A R = 因此 并令 个自由未知量全取0， r n - 即可得方程组的一个解． 充分性： ( ) ( ) , B R A R = 设 ( ) ( ) ( ) , n r r B R A R ￡ = = 设 证毕 其余 个作为自由未知量, 把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量, 小结 有唯一解 ( ) ( ) n B R A R = = ? ( ) ( ) n B R A R = ? 有无穷多解 齐次线性方程组：系数矩阵化成行阶梯形矩阵，便可写出其通解； 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，便可写出其通解. （未知量的个数） 例1 求解齐次线性方程组 解 即得与原方程组同解的方程组 由此即得 例２ 求解非齐次线性方程组 解 对增广矩阵B进行初等行变换， 故方程组无解． 例３ 求解非齐次方程组的通解 解 对增广矩阵B进行初等行变换 故方程组有解，且有 所以方程组的通解为 例４ 解证 对增广矩阵B进行初等行变换 方程组的增广矩阵为 原方程组等价于方程组 由此得通解： 例５ 设有线性方程组 解 其通解为 这时又分两种情形： 解法二) 系数矩阵的行列式 ( ) ( ) n B R A R = ? 有无穷多解 b Ax = 非齐次线性方程组 齐次线性方程组 ( ) ( ) n B R A R = = ? ? （未知量的个数） （未知量的个数）