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第一节 初等变换与初等矩阵 一、矩阵的初等变换 三、初等矩阵 四、小结 * 第二章 二、 矩阵的标准形 三、 初等矩阵 一、 矩阵的初等变换 四、 小结 定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 定义2 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)． 逆变换 逆变换 逆变换 等价关系的性质： 具有上述三条性质的关系称为等价． 特点： （1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零； （2）、每个台阶 只有一行 台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元． 二、矩阵的标准形 阶梯形矩阵 例如， 阶梯形矩阵再经过初等列变换，可化成更简单的形式： 定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵: 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛. 定理：设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵. 初等矩阵 初等逆变换 初等逆矩阵 初等变换 初等变换对应初等矩阵， 由初等变换可逆知，初等矩阵是可逆的， 且此初等变换的逆变换也就对应此初等矩阵的逆矩阵. 定理2 A为可逆矩阵的充要条件是存在有限个初等 矩阵 证 即 必要性 充分性 显然成立 利用初等变换求逆矩阵的方法： 解 例１ 即 初等行变换 例２ 解 解： 例3
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