线性代数精品教学（中南大学）1.2行列式.pptVIP

第二节 行列式 * 第一章 一、n 阶行列式的定义 三、行列式按行(列)展开 二、行列式的性质 四、小结 一、二阶行列式的概念 定义 二阶行列式 主对角线 副对角线 数 aij ( i, j =1, 2) 表示第 i 行第 j 列的元素. 对角线法则 说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 二、三阶行列式 其中 aij ( i , j =1, 2, 3 ) 表示第 i 行第 j 列的元素. 三阶行列式 三阶行列式的计算可如下图: 定义 ? ? ? + + + 三、排列与逆序数 为了得到 n 阶行列式的定义和讨论其性质, 先引入排列和逆序数的概念. 由自然数 1, 2, …, n 组成的一个有序数组，称为一个 n 级排列. 其中若某两数之间前面的数大于后面的数, 则称它们构成一个逆序. 一个排列中所有逆序的总数称为该排列的逆序数. n 级排列 (i1 i2…in ) 的逆序数记为τ(i1i2…in), 简记为τ . 例如六级排列 243516 中, 2 与 1, 4 与 1, 3 与 1, 5与 1, 4 与 3 均构成逆序, 故 τ(243516) = 5. 定理 奇、偶排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列, 逆序数为奇数的排列称为奇排列. 如四级排列 2314 是偶排列，而六级排列 243516 为奇排列. 对换：将一个排列某两个数的位置互换而其余的数不动, 则称对该排列作了一次对换. 如排列 31524 是排列 21534 经过 2 与 3 对换而得, 而 τ(21534)=3, τ(31524)=4, 即经过对换后排列的奇偶性改变了. 一次对换改变排列的奇偶性. 四、n 阶行列式的定义 利用排列与逆序数的概念, 可以看出三阶行列式 中共 3! = 6 项, 其中一半带正号, 一半带负号. τ(123)= 0 τ(312)=2 τ(231)=2 τ(321)=3 τ(132)=1 τ(213)=1 三阶行列式可记为 其中 ? 是对所有三级排列 ( j1 j2 j3 ) 求和. 其中 ? 是对所有二级排列 (j1 j2) 求和. 同样, 二阶行列式 仿此, 可得 定义 n 阶行列式 其中 ? 是对所有 n 级排列 ( j1 j2…jn ) 求和 由定义可知, n 阶行列式是所有取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和, 共有 n! 项, 其中一半带正号, 一半带负号. 例1 计算上三角行列式 展开式中项的一般形式是 所以不为零的项只有 解 计算下列 n 阶行列式 (称为下三角行列式) 由定义，D 中取自不同行不同列的 n 个元素的乘积，除了 a11 a22 …ann 外，其余全为 0 ，而 a11 a22 … ann 的 列下标的排列为 (12 … n) , τ( 1 2 …n ) = 0, D = (?1)0 a11 a22… ann 故 = a11 a22… ann 例2 解 作为例 2 的 特例，可知下面的 n 阶行列式(称为对角行列式) 计算 n 阶行列式 例3 取 D 中不在同一行不在同一 列的 n 个元素的乘积， 除 a1n a2, n-1 … an1 外，其余全为 0 ， 而 a1n a2,n-1… an1 的列下标的排列为 (n, n?1,…, 1), 故 由例 3立即可知 解 在 n 阶行列式的定义中，为了确定每一项的符号，把 n 个元素的行下标均按自然顺序排列.事实上，数的乘法是可交换的，因而这 n 个元素相乘时次序可以是任意的，故有 定理 n 阶行列式的定义也可写成 由上述定理可知，若将列下标按自然顺序排列， 则有 小结: n 阶行列式的定义有三种形式： 由此可得行列式的下列性质 性质1 行列互换，行列式的值不变. 由性质 1 可知 上三角行列式 下三角行列式 按定义计算行列式较麻烦, 因此有必要讨论行列式的性质以简化行列式的计算. 行列互换，行列式的值不变. 即 五、行列式的性质 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质1 交换行列式的任意两行 ( 列 ) , 行列式仅改变符号. 即 如二阶行列式 而 两者异号. 性质2 这是因为行列式 D 的这两行互换后得 D = ? D, 从而 D = 0. 推论1 若 n 阶行列式有两行 ( 列 ) 的对应元素相同, 则行列式为零. 性质3 把行列式的某行(列)的所有元素同乘以数 k , 等于该行列式乘以数 k . 即 由性质 3 可知, 若行列式某行 (