微积分精品教学（中南大学）二.导数与微分.pptVIP

1. 导数和微分的概念 例. 2. 导数的几何意义 3. 导数和微分的求法 4. 导数应用 拉格朗日中值定理 柯西(Cauchy)中值定理 * 二、导数与微分 1、导数的概念 2、导数的几何意义 3、导数的求法 4、函数的性态(导数的应用) 导数 : 当 时,为右导数 当 时,为左导数 微分 : 关系 : 可导 可微 (一元函数) 若 且 存在 , 求 解: 原式 = 且 联想到凑导数的定义式 例. 研究函数　　　　　　 在x =0处的连续性和可导性. 解： f (0) = 0 ? f (x)在x=0处连续. ? f (x)在 x = 0处不可导. 曲线 在点 的切线斜率为 若 曲线过 上升; 若 曲线过 下降; 若 切线与 x 轴平行, 称为驻点 若 切线与 x 轴垂直 . 曲线在点 处的 切线方程: 法线方程: 1. 正确使用导数及微分公式和法则 2. 熟练掌握求导方法和技巧 (1) 求分段函数的导数 注意讨论分界点处左右导数是否存在和相等 (2) 隐函数求导法 (3) 参数方程求导法 极坐标方程求导 (4) 复合函数求导法 (可利用微分形式不变性) 转化 (5) 高阶导数的求法 逐次求导归纳 ; 间接求导法; 利用莱布尼兹公式. 例. 解: 通过导数定义求导,或利用求导公式 例. 解: 两边取对数 隐函数求导法,对数化 两边对x求导得 例. 解: 显函数求导,有时对数化更简便 两边取对数得 两边对x求导得 参变量函数的求导法则 例. 例. 解: 分析: 不能用公式求导. 或看成分段函数在分界点的导数---定义求导 例. 解: 高阶求导法则,间接求导法 1. 研究函数的性态: 单调 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率 2. 解决最值问题 目标函数的建立与简化 最值的判别问题 3. 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ; 证明不等式 ; 研究方程实根等. 例. (1) 在闭区间 [a , b] 上连续 (2) 在开区间 (a , b) 内可导 (3) 在区间端点处的函数值相等，即 f ( a ) = f ( b ) 则在( a , b ) 内至少存在一点 罗尔( Rolle )定理 (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 则至少存在一点 使 (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导 (3)在开区间 ( a , b ) 内 则至少存在一点 使