微积分精品教学（中南大学）8.二阶常系数常齐次线性微分方程.pptxVIP

一、定义 n阶常系数线性微分方程的标准形式 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 二、二阶常系数齐次线性方程解法 -----特征方程法 将其代入上方程, 得 故有 特征方程 特征根  有两个不相等的实根 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 特征根为 当 时,特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 代入方程得: 是特征方程的重根 因此原方程的通解为  有两个相等的实根 ( u (x) 待定) 取 u = x , 则得 当 时,特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: 因此原方程的通解为  有一对共轭复根 欧拉公式 定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法. 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例1 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例2 三、n阶常系数齐次线性方程解法 特征方程为 特征方程的根 通解中的对应项 特征根为 故所求通解为 解 特征方程为 例3 四、小结 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解. (见下表) 1.求方程 的通解 . 答案: 通解为 通解为 通解为 练习 2. 为特解的4阶常系数线性齐次微分 方程，并求其通解 . 解: 根据给定的特解知特征方程有根 : 因此特征方程为 即 故所求方程为 其通解为 3.已知二阶常微分方程 有特解 求微分方程的通解 . 解: 将特解代入方程得恒等式 比较系数得 故原方程为 对应齐次方程通解: 原方程通解为 思考题 求微分方程 的通解. 思考题解答 则 练 习 题 练习题答案