概率论和数理统计 随机变量的数字特征精选.ppt

* §1.3 随机变量的数字特征 一、数学期望与方差 二、协方差与协方差 * 若当级数 绝对收敛时，称 为随机变量X的数学期望，记为E（X），即 X x1 x2 x3………xn… Pk p1 p2 p3 ………pn… 1、数学期望的定义 定义 2 设连续型随机变量X的概率密度为f(x),则当广义积分 绝对收敛时，称此积分的值为随机变量X的 数学期望，记为 E（X），即 E（X）= E(X)= 一、数学期望与方差 1、定义1 设离散型随机变量X的分布律为： * 2、 数学期望的性质： （4）若X，Y为两个相互独立的随机变量，则有 E（XY）=E（X）E（Y） （1）设C是常数，则 E（C）=C 这里C视为 退化的随机变量 （2）设X为一随机变量，C为常数，则有 E（CX）=CE（X） （3）设X，Y为两个随机变量，则有 E（X+Y）=E（X）+E（Y） 注： (1) 相互独立时 (2) * 例2、已知X～E(X)，求Y=2X-1的数学期望 解 依题意知，X的概率密度为 于是 进而 3、随机变量函数的数学期望 ⑴离散型: X的分布率为: P{ X=xk }=Pk , k=1,2…且级数 * ⑵连续型: X的概率密度为f(x) ，若积分 (1)已知随机变量X的分布,求其函数Y=g(X)的期望: 绝对收敛 绝对收敛 * （2）连续型R.V(X，Y)的概率密度为: f(x,y) 则有 （1）离散型 (X，Y) 的分布律为： (2)、已知随机变量（X,Y）的分布，求函数Z=g(X,Y)的数学期望 求 的期望 例3：已知随机变量X的概率密度为 * 例1.26 设随机变量 解 依题知，X的概率密度为 故 4、方差的概念 * 另外，记 ，称为标准差或均方差 D（x）=Var（X）= 存在,则称之为X的方差.记为D（X）或Var(X) 定义 若X是一随机变量，若 5、方差的计算方法： 当X为离散型随机变 当X是连续型随机变量 常用公式: * 例5：已知X~U(a,b)，求E(X)和D(X). 解 由题知，X的概率密度为 于是有 而 6、方差的性质: * (1)D(C) ＝0; (2) D(CX)=C2D(X); (3) 当X、Y独立,D(X+Y)=D(X)+D(Y); (4) D(X)=0等价于P﹛X=C﹜=1. (C为常数) 7、常见分布的期望方差: * (5)均匀分布: (1)二点分布: (2)二项分布: (3)泊松分布: (4)正态分布: E(X)=np D(X)=np(1-p) (6) 指数分布 E(X)=p D(X)=pq * 例1.29 设X～E(t)，Y～N(0,t2)，(t0)且X与Y相互独立，而Z=2X-3Y+1，试求E(Z)和E(Z2). 解 因X～E(t)，Y～N(0,t2)故 所以 * 1、协方差:设随机变量X与Y Cov(X,Y)= E{[X-E（X）][Y-E（Y）]} 称其为X与Y的协方差,也记为?XY 注：Cov(X,X)= E{[X-E（X）][X-E（X）]}=D(X) Cov(X,Y) =E(XY)-E(X)E(Y). 为X,Y的相关系数. 2、相关系数:称数值 二、协方差与相关系数 * 例1.30 设(X,Y)的概率密度为 解 因定理1.2提供的公式，直接有 于是有 * 3、性质： 注: (1)当 较大时,我们通常说X与Y的线性相关程度较好; 当 较小时，我们说X与Y的线性相关程度较差. (2)?XY=0我们也称X与Y不相关. 注：设二维随机变量 则X与Y的相关系数为 * (4) X与Y的k+l 阶混合中心矩 设(X,Y)是随机变量，k,l是整数 注：数学期望是的一阶原点矩，方差是二阶中心矩，协方差是二阶混合中心矩。 4、随机变量的矩 * *